高一数学函数的单调性与奇偶性【本讲主要内容】一.本周教学内容：函数的单调性与奇偶性函数单调性概念；增（减）函数的定义及判定方法；函数奇偶性定义及判定方法。【知识掌握】【知识点精析】（一）函数的单调性1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数fx()，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值xx12、，当xx12时，都有fxfx()()12［或都有fxfx()()12］，那么就说fx()在这个区间上是增函数（或减函数）。如果函数yfx()在某个区间上是增函数（或减函数），就说fx()在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做fx()的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数fx()，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。（2）定性刻画：对于给定区间上的函数fx()，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。（3）定量刻画，即定义。上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。注：利用导数研究函数单调性更便捷。（二）函数奇偶性1.奇函数：对于函数fx()的定义域内任意一个x，都有fxfx()()［或fxfx()()0］，则称fx()为奇函数。2.偶函数：对于函数fx()的定义域内任意一个x，都有fxfx()()［或fxfx()()0］，则称fx()为偶函数。3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）若奇函数的定义域包含数0，则f()00。（4）奇函数的反函数也为奇函数。（5）定义在，上的任意函数fx()都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。即：fxfxfxfxfx()()()()()22（三）几个重要的结论（解题的方法技巧）用心爱心专心1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，应先确定函数的定义域。2.证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数的定义，具体方法常用作差法或作商比较法，运用导函数是大纲要求的。注意定义的如下两种等价形式：设xxab12、，，那么（1）fxfxxxfx()()()12120在ab，上是增函数；fxfxxxfx()()()12120在ab，上是减函数；（2）xxfxfxfx12120()()()在ab，上是减函数；xxfxfxfx12120()()()在ab，上是增函数。需要指出的是（1）的几何意义：增（减）函数图象上任意两点xfx11，()xfx22，()连线的斜率都大于（或小于）零。3.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法；（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（4）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（5）如果fx()在区间D上是增（减）函数，那么fx()在D的任一子区间上也是增（减）函数；（6）如果yfu()和ugx()单调性相同，那么yfgx[()]是增函数；如果yfu()和ugx()单调性相反，那么yfgx[()]是减函数。4.函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数的整体性质；函数的单调性是对整个定义域或其子区间而言的，是函数的局部性质，要注意将两者结合起来研究函数的有关应用。5.解题中要注意以下性质的灵活运用（1）fx()为偶函数fxfxfx()()(||)（2）奇函数fx()在x0时有定义，则f()00（3）在公共定义域上，两奇函数之积（或商）为_________函数；两偶函数之积（或商）为________函数；一奇一偶函数之积（或商）为_________函数。（奇±奇）为_________。（偶±偶）为________。6.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：fxfxfxfxfxfxf...
