多项式的最大公因式问题：（一）.多项式的最大公因式的定义是什么？设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：(1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式；(2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。我们约定用(f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且f(x)=g(x)q(x)+h(x)则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(f(x)，g(x))=(g(x)，h(x))定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。（二）.用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且qi(x),ri(x)∈P[x],使f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x)⋯⋯rs−2(x)=qs(x)rs−1(x)+rs(x)rs−1(x)=qs+1(x)rs(x)+0其中∂(ri(x))≥0，则rs(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。(2).串位加减法(3).矩阵求法：A=(f(x)g(x))一系列初等行变换→(d(x)0)d(x)=(f(x)，g(x))例1.设f(x)=x4+3x3−x2−4x−3g(x)=3x3+10x2+2x−3求(f(x)，g(x))解：法1辗转相除法。−275x+9¿q2(x)g(x)3x3+10x2+2x−33x3+15x2+18xf(x)x4+3x3−x2−4x−3x4+103x3+23x2−x13x−9¿q1(x)−5x2−16x−3−5x2−25x−30−13x3−53x2−3x−3−13x3−109x2−29x+13r2(x)=9x+27r1(x)=−59x2−259x−103−59x2−53x−581x−1081¿q3(x)−109x−103−109x−103r3(x)=0求得r2(x)=9x+27是最大公因式，即(f(x)，g(x))=x+3法2串位加减法设c≠0，则对于任意多项式f(x)，g(x)(f(x)，g(x))=(f(x)，cg(x))13-1-4-33102-3f(x)g(x)15995253015651639273r1(x)=−3f(x)+xg(x)r2(x)=3r1(x)−g(x)r3(x)=15r2(x)=r1¿(x)613r4(x)=−g(x)+3xr1¿(x)r5(x)=−r4(x)+5r1¿(x)r6(x)=19r5(x)=r2¿(x)r7(x)=r1¿(x)−r2¿(x)r8(x)=12r7(x)0于是r7(x)=2x+6是最大公因式，即(f(x)，g(x))=x+3例2．令F是有理数域，求出F[x]的多项式f(x)=4x4−2x3−16x2+5x+9，g(x)=2x3−x2−5x+4使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)成立的d(x)，u(x)，v(x),其中d(x)=(f(x)，g(x))。解我们把I拼在(f(x)g(x))的右边一起做行初等变换：(f(x)10g(x)01)=(4x4−2x3−16x2+5x+9102x3−x2−5x+401)r1+r2×(−2)→(−6x2−3x+91−2x2x3−x2−5x+401)r2+r1×x→(−6x2−3x+91−2x6x3−3x2−15x+1203)→⋯(0¿¿−3x+3x−1−2x2+2x+3)r1↔r2r1×(−13)→(x−1−13(x−1)23x2−23x−10¿¿)。所以d(x)=x−1，u(x)=−13(x−1)，v(x)=23x2−23x−1。注：如果d(x)是f(x)，g(x)在F[x]中的公因式，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式的充分必要条件是存在u(x),v(x)∈F(x)，使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)例3.求u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))：f(x)=x4+2x3−x2−4x−2，g(x)=x4+x3−x2−2x−2（P45,6.(1)）解：f(x)=g(x)q1(x)+r1(x)，其中，{q1(x)=1r1(x)=x3−2xg(x)=r1(x)∙q2(x)+r2(x),其中，{q2(x)=x+1r2(x)=x2−2r1(x)=r2(x)∙q3(x)+r3(x),其中，{q3(x)=xr3(x)=0所以，r2(x)=x2−2是f(x)和g(x)的最大公因式。因为g(x)=r1(x)∙q2(x)+r2(x),f(x)=g(x)∙q1(x)+r1(x)，所以(f(x)，g(x))=−q2(x)∙f(x)+[1+q1(x)∙q2(x)]∙g(x)由此可得：{u(x)=−q2(x)=−x−1v(x)=1+q1(x)q2(x)=x+2注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。例4．证明：如果d(x)│f(x),d(x)│g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。（P45,8）证：设d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，即有d'(x)│f(x)和d'(x)│g(x)不妨设f(x)=d'(x)∙q1(x),g(x)=d'(x)∙q2(x)由已知条件可得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)所以d(x)=u(x)d'(x)∙q1(x)+v(x)d'(x)∙q2(x)故有d'(x)│d(x)因此，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。注：已知d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，只需证明f(x)与g(x)的任一公因式都是d(x)的公因式便可得证。
