高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第二课时 函数的最大（小）值学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

第二课时 函数的最大(小)值[提出问题]观察下面的函数图象：问题 1：该函数 f(x)的定义域是什么？提示：[－4,7]．问题 2：该函数 f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么？提示：3，－2.问题 3：函数 y＝f(x)的值域是什么？提示：[－2,3]．[导入新知]1．最大值一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对于任意的 x∈I，都有 f ( x )≤ M ；(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M .那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．2．最小值一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对于任意的 x∈I，都有 f ( x )≥ M ；(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M .那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．[化解疑难]1．函数最大(小)值的几何意义函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．2．函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数 y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数 f(x)在闭区间[a，b]上单调，则 f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是 f(a)或 f(b)，最小值是 f(b)或 f(a)．图象法求函数的最值[例 1] (1)函数 f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A．－2，f(2) B．2，f(2)C．－2，f(5) D．2，f(5)(2)求函数 f(x)＝的最值．[解] (1)选 C 由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当 x＝5 时，有最大值f(5)．(2)函数 f(x)的图象如图：由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)＝1，无最大值．[类题通法]用图象法求最值的一般步骤[活学活用]作出函数 y＝|x－2|(x＋1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．解：当 x≥2，即 x－2≥0 时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；当 x<2，即 x－2<0 时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.所以 y＝画出该分段函数的图象，如图．由图象可知，函数 y＝|x－2|(x＋1)在，[2，＋∞)上是增函数；在上是减函数．观察函数图象，可知函数不存在最大值，也不存在最小值.利用单调性求函数的最值[例 2] 已知函数 f(x)＝x＋.(1)求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求 f(x)在[2,4]上的最值．[解] (1)证明：设任意两个 x1，x2∈(1，＋∞)，并且 x1x1>1，∴x1...