复变函数与积分变换习题解答VIP免费

复变函数与积分变换习题解答练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。（1）iiii524321；解：iiii524321=i2582516zkkArgzzzz221arctan2558258Im2516Re（2）3)231(i解：3)231(izkkArgzzzzeii210Im1Re1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。1）i31解：i31)35sin35(cos2i（2）ii12解：ii12)4sin4(cos21ii3．利用复数的三角表示计算下列各式。（1）ii2332解：ii23322sin2cosii（2）422i解：422i41)]43sin43(cos22[i1复变函数与积分变换习题解答3,2,1,0]1683sin1683[cos2]424/3sin]424/3[cos28383kkikkik4．.设321,,zzz三点适合条件：321zzz=0，,1321zzz321,,zzz是内接于单位圆z=1的一个正三角形的项点。证：因,1321zzz所以321,,zzz都在圆周,11zz又因321zzz=0则,321zzz1321zzz，所以21zz也在圆周1z上，又,12121zzzz所以以0，211,zzz为顶点的三角形是正三角形，所以向量211zzz与之间的张角是3，同理212zzz与之间的张角也是3，于是21zz与之间的张角是32，同理1z与3z，2z与3z之间的张角都是32，所以321,,zzz是一个正三角形的三个顶点。5．解方程013ziiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213解6．试证：当1,1时，则11。证：1117．设,0(cos21zzz是Z的辐角），求证.cos2nzznn证：01cos2cos221zzzz2z3z2z1+z20复变函数与积分变换习题解答则sincosiz当sincosiz时sincos1iznnininzznncos2)]sin()[cos()sin(cos故nzznncos2当sincosiz时，同理可证。*8.思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？答：否，0z是模为零，辐角无定义的复数。3复变函数与积分变换习题解答练习二1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1）4)arg(iz解：设iyxz则4)]1(arg[)arg(yixiz1010yxyx则点Z的轨迹为：（2）)Re(bzaz，其中ba,为实数常数；解：设iyxz则：)Re()(iybxiyax0)()(222bxbxyax则：bxbaxbaabxbay)2)((2)(2222若：ba则轨迹为：0y若：ba则bbax2轨迹：)2)((22baxbay若：ba则,2bax无意义（3）0bzazazz，其中为a复数b为实常数。解：由题设可知：0))((2abazaz即：baaz22若：ba2，则Z的轨迹为一点-a，若：ba2，则Z的轨迹为圆，圆心在-a，半径为ba2若：ba2，无意义40iyy0b0y(1,1)(-1,-4)复变函数与积分变换习题解答2．用复参数方程表示曲线，连接i1与i41直线段。解：10)]1()41[()1(ttiiiz则)0()52()1(ttiiz3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。（1）21Re,1zz解：由1z，得122yx又21Rez，得21x有界，单连域（2）1Re2z解：令iyxz由11Re222yxz即：122xy无界，单连域50xy-110yv0（3）211zz解：令iyxz则：222)34()35(yx无界，多连域4．对于函数0Im:,)(zDizzf，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。解：令iyxz则ixyiyxiizzfw)()(,0Imz则0y,0Reyww的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴5.试证zzzRelim0不存在。证：zzzRelim0=iyxxyx00lim令kxy则：上述极限为ki11不确定，因而极限不存在。*6.思考题（1）怎样理解复变函数)(zfw？答：设)(,,zfwiyxzivuw...