一元二次方程的整数根问题例1m为何正整数时，方程x2＋（2m－1）x＋（m2－m－12）=0有正整数根？解：△＝＞0由求根公式：故因为m是正整数，故－3－m＜0，原方程有正整数根，∴，∴m＜4∴m＝1，2，3时，原方程有正整数根。例2已知12＜m＜60，且关于x的二次方程x2－2（m＋1）x＋m2＝0有两个整数根，求整数m，并求此两个整数根。解：由求根公式：由于都为整数，所以必为完全平方数，而，故是奇数且为完全平方数，故只能为49和81只能为24和40（1）当时，；（2）当时，例3若方程（k2－1）x2－6（3k－1）x＋72＝0有两个不同的正整数根，求整数k的值。解:∵k2－1≠0，k≠±1．Δ=36(k－3)2＞0，所以k≠3．用求根公式可得，由于x1，x2是正整数，所以k+1=1，2，3，4，6，12且k－1=1，2，3，6，所以k＝0，1，2，3，5，且k＝2，3，4，7，符合条件的仅有k=2。例4已知方程（a2－1）x2－2（5a＋1）x＋24＝0有两个不等的负整数根，求整数a的值。解：∵a2－1≠0，a≠±1．451424145222()()()aaa，所以a≠－5．所以xaaaa12251252161()()()xaaaaaa222251252144141()()()依题意有：61a、41a均为负整数，所以a－1＝－1，－2，－3，－6且a＋1＝－1，－2，－4所以a＝0，－1，－2，－5且a＝－2，－3，－5，符合此条件的仅有a2。例5方程x2－（a＋8）x＋8a－1＝0有两个整数根，试求整数a的值。解法一：原方程可化为于是有或，所以或∴综上所述a＝8解法二：由已知方程知x≠8，将原方程化为∵a、x均为整数，所以x－8＝1或－1，∴x＝9或7，当x＝9时，a＝8，当x＝7时，a＝8综上所述，a＝8例6试确定自然数m的值，使方程x2－（m＋2）x＋4m＝0有正整数解。解：由已知方程知，将原方程化为因为m为自然数，所以正整数x所取的可能值为2，5、6、8、12，分别代入方程，得m的值为0或15或12∴当m＝0或m＝15或m＝12时，方程有正整数解。例7已知关于x的方程a2x2－（3a2－8a）x＋2a2－13a＋15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例8设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2－（m－1）x＋1＝0有有理根，求m的值．解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=（m－1）2－4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2－6m＋1＝n2，所以（m－3）2－n2＝8，（m－3＋n）（m－3－n）＝8．由于m－3＋n≥m－3－n，并且（m－3＋n）＋（m－3－n）＝2（m－3）是偶数，所以m－3＋n与m－3－n同奇偶，所以或所以或（不合题意舍去），所以m＝6
