专题二：立体几何面面垂直线面垂直专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点(2)面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1.如图1,在正方体ABCD-A^Cfl,中，M为CC,的中点,/C交BD于点O,求证：4。丄平面MBQ.证明：连结MO,A{M9••如丄AXA9DBLAC9A1AHAC=A9/•DB丄平面A,ACCX9而4Ou平面A,ACC,:.DB丄4。・设正方体棱长为Q,则初=詁2,e2rMO2=-a2・4在RtAgM中，A}M2=-a2.VA.O2+MO2=A.M29•\A}O1OM・VOMADB=O940丄平面MSZ)・评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.利用面面垂直寻求线面垂直2.如图2,卩是厶ABC所在平面外的一点，且以丄平面/BC,平面丄平面MC.求证：〃C丄平面P4C.证明:在平面Q4C内作丄PC交PC于D・因为平面E4C丄平面PBC,且两平面交于DC(PC,ADu平面PAC，且AD丄PC，由面面垂直的性质，得AD丄平面PBC.又JBC匸平面PBC，:.AD丄BC.JPA丄平面ABC^平面ABC,^PA丄BCUBC.VADH^=A,:.BC丄平面PAC.评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直〜线面垂直〜线线垂直.一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直=匕线面垂直十面面垂直•这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.3•如图1所示，ABCD为正方形，SA丄平面ABCD，过人且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于求证.E,F,GAE丄SB，AG丄SD*••SA丄BC平面SAB，・・AE丄平面SBCAE丄同理可证AG丄评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.4.如图2,在三AC=BC，••CF丄AB•AD=BD，又CF.DF=F•・•CDu平面CDF,・・・CD丄AB-DF丄ABJAB丄平面CDF-CD丄BE^AB=B证明：・・・SA丄平面ABCD,AB丄BC，•:BC丄平面SAB又IAEu•・SC丄平面AEFG,・•・CD丄平面ABE,CD丄AH-•••AH丄CD，AH丄BE，CD.BE=E，•IAH丄平面BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直.如此反复，直到证得结论.5.如图3,AB是圆0的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC.若AE丄PC,E为垂足，F是PB上任意一点，求证：平面AEF丄平面PBC.证明：TAB是圆0的直径，・・.AC丄BC・・・・pA丄平面ABC，BC匸平面ABC，•:PA丄BC•・BC丄平面APC.・・・BCu平面PBC，・・・平面APC丄平面PBC.•AE丄PC，平面APCQ平面PBC=PC，(:图•••AE丄平面PBC.•/平面AEF,.・.平面AEF丄平面PBC.AEu评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.10.如图，在空间四边形SABC中,SA丄平面ABC,ZABC=90。,AN1SB于N,AM1SC于M。求证：®AN1BC;②SC丄平面ANM分析：①要证AN1BC,转证,BC丄平面SAB。②要证SC丄平面ANM,转证，SC垂直于平面ANM内的两条相交直线，即证SC^M,SC1AN。要证SC^N,转证AN丄平面SBC,就可以了。证明：①TSA丄平面ABC:.SA1BC又VBC1AB,且AB.SA=ABC1平面SAB•:AN平面SABu:.AN1BC@\ANLBC,AN丄SB,且SB/C=B:.AN1平面SBC•:SCC平面SBC:.ANISC又AMISC,且AMnAN=A:.SC!平面ANM［例2］如图9—40,在三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC，平面SAB丄平面SBC・图9—40(1)求证：AB丄BC；(1)【证明】作AH丄SB于H,•••平面SAB丄平面SBC・平面SABA平面SBC二SB,Z.AH丄平面SBC,又SA丄平面ABC,ZSA丄BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,ZBC丄SB,又SAASB=S,ZBC丄平面SAB・.・・BC丄AB・［例3］如图9—41,PA丄平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.求证：平面MND丄平面PCD【证明】取PD中点E,连结EN,EA,则EN厘2CD上AM,.：四边形ENMA是平行四边形?AEA#MN・VAE丄PD,AE丄CD,.\AE丄平面PCD,从而MN丄平面PCD,...
