标准第三章多元线性回归模型基本要求：1、理解多元线性回归模型的定义2、理解多元线性回归模型的假定3、掌握参数估计的计算4、理解参数统计性质第一节多元线性回归模型及假定一、多元线性回归模型许多经济现象往往要受多个因素的影响，研究被解释变量受多个解释变量的影响，就要利用多元回归模型。多元线性回归模型与一元线性回归模型基本类似，只不过解释变量由一个增加到两个以上，被解释变量Y与多个解释变量X,X，…,X之间存在线性关系。12k假定被解释变量Y与多个解释变量X,X，…,X之间具有线性关系，是解释变量的多元线性12k函数，称为多元线性回归模型。即Y=0+0X+0X+…+0X+卩(3-1)01122kk其中Y为被解释变量，X(j=1,2,...,k)为k个解释变量，0(j=0,1,2，…,k)为k+1个未知参数，卩为随机误差项。被解释变量Y的期望值与解释变量X,X，…,X的线性方程为：12k标准E(Y)=0+0X+0X+…+0X(3-2)01122kk称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。标准Y二卩+卩X+BX+…+BX+卩n其矩阵形式为011n22n"Y"1XX…X一11121k1Y1XX…X2■■=■■12■22••••k2■■Y1XX…Xn一12nknkknn"B0B11B+2■2■■Bn(3-其Y=nx1Y1为被解释变量的观测值向量；XX11XX21XXk1Xk2为解释变量的观测值矩阵；X1X2Xk「0B11B为总体回归参数向量；卩=2■2■■nx1■Bkn对于n组观测值Y，X，X，…,XG=1,2,…,n），其方程组形式为：i1i2ikiY=B+BX+BX+…+BX+卩,(i=1,2,…,n)(3-3)i011i22ikkii即7二卩+卩X+卩X+…+卩X+卩10111221kk11Y二卩+卩X+卩X+…+卩X+卩20112222kk22总体回归方程表示为：(3-5)元线性回归分析一样，多元线性回归分析仍是根据观测样本估计模型中的各个参数，对估计参数及回归方程进行统计检验，从而利用回归模型进行经济预测和分析。多元线性回归模型包含knx(k+1)1为随机误差项向量。(k+1)x标准(3-其中Y=nx1Y1Y2为被解释变量样本观测值向量Y的nx1阶拟合值列向量Xnx(k+1XX11211XX1222Xk1Xk2为解释变量X的nx(k+1)阶样本观测矩阵；n一一1XX1n2nXk为未知参数向量卩的(k+1)x1阶估计值列向量。多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量Y发生作用，若要考察其中一个解释变量对Y的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进行分析。因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中一个解释变量对因变量Y的均值的影响。由于参数0,0,0，…，0都是未知的,可以利用样本观测值(X,X，…,X;Y)对它们进行012k1i2ikii估计。若计算得到的参数估计值为0,0,0，…,0，用参数估计值替代总体回归函数的未知参数012k0，0，0，…，0，则得多元线性样本回归方程：012kY=0+0X+0X+…+0X(3-6)i011i22ikkn其中0(j=0丄2,…,k)为参数估计值，Y(i=1,2,…,n)为Y的样本回归值或样本拟合值、样本估jiz计值。其矩阵表达形式为:/XY=X|ik样本回归方程得到的被解释变量估计值0与实际观测值Y之间的偏差称为残差e。iiie=Y-P=Y-(0+0X+0+・・・+0X)(3-8)iiii011i2ikiki标准二、多元线性回归模型的假定与一元线性回归模型相同，多元线性回归模型利用普通最小二乘法（OLS）对参数进行估计时，有如下假定：假定1零均值假定：E（卩）=0,i=1,2,…,n，即iE®)=E12■■■「E(卩)]1E(卩)E(卩)二0nn(3-9)假定2同方差假定（卩的方差为同一常数）：Var(卩)=E(卩2)=°2,(i=1,2,…，n)ii假定3无自相关性：Cov(卩,卩)=E(卩卩)=0,(i丰j,i,j=h2,…,n)ijijE（呻'）二E屮」nE(»2)1E(»»)21■E(卩卩)12E(»2)2n1…E(吓)1n…E(»»)2n••=021un假定4随机误差项卩与解释变量X不相关（这个假定自动成立）:Cov(X,卩)=0,(j=1,2,…,k,i=1,2,…,n)jii假定5随机误差项卩服从均值为零，方差为02的正态分布:(3-10)标准假定6解释变量之间不存在多重共线性：rank(X)=k+1
