-.三角形作辅助线方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在角的位置上，再利用外角定理证题.例：D为△ABC任一点，求证：∠BDC＞∠BAC证法〔一〕：延长BD交AC于E， ∠BDC是△EDC的外角，AA∴∠BDC＞∠DECE同理：∠DEC＞∠BACDD∴∠BDC＞∠BACBBCCF证法〔二〕：连结AD，并延长交BC于F ∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：在DA上截取DN=DB，连结NE、NF，那么DN=ADC在△BDE和△NDE中，NEDN=DBF2341B∠1=∠2CDED=ED∴△BDE≌△NDE∴BE=NE同理可证：CF=NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF3.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED到M，使DM=DE，连结CM、FM△BDE和△CDM中，BD=CD∠1=∠5ED=MD∴△BDE≌△CDM∴CM=BE又 ∠1=∠2，∠3=∠4-.可修编.-.∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o∴∠3＋∠2=90o即∠EDF=90oA∴∠FDM=∠EDF=90o△EDF和△MDF中EF23ED=MD41B5CD∠FDM=∠EDFMDF=DF∴△EDF≌△MDF∴EF=MF 在△CMF中，CF＋CM＞MFBE＋CF＞EF〔此题也可加倍FD，证法同上〕4.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BE AD为△ABC的中线∴BD=CDA在△ACD和△EBD中2BD=CDB1CD∠1=∠2EAD=ED∴△ACD≌△EBD △ABE中有AB＋BE＞AE∴AB＋AC＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当或求证中涉及到线段a、b、c、d有以下情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b=c③a±b=c±d例：，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC证明：⑴截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN在△APN和△APC中，AN=ACA∠1=∠212AP=APPN∴△APN≌△APCBCD∴PC=PN-.可修编.-. △BPN中有PB－PC＜BN∴PB－PC＜AB－AC⑵补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM在△ABP和△AMP中AB=AMA∠1=∠212PAP=APB∴△ABP≌△AMPCD∴PB=PMM又 在△PCM中有CM＞PM－PC∴AB－AC＞PB－PC练习：1.，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O求证：AC=AE＋CD2.，如图，AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.DE求证：BC=AB＋CDA1423BC6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。②假设图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，，BE、CD相交于F，∠B=∠C，∠1=∠2，求证：DF=EF证明： ∠ADF=∠B＋∠3∠AEF=∠C＋∠4又 ∠3=∠4∠B=∠C∴∠ADF=∠AEF在△ADF和△AEF中A∠ADF=∠AEF∠1=∠2DE12AF=AF34F∴△ADF≌△AEFBC∴DF=EF7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角〔等角〕的余角相等来证明两个角相等.例：，如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE证明： ∠BAC=90o,BD⊥AN∴∠1＋∠2=90o∠1＋∠3=90o∴∠2=∠3 BD⊥ANCE⊥AN∴∠BDA=∠AEC=90o在△ABD和△CAE中，A12-3D.可修编.BENC-.∠BDA=∠AEC∠2=∠3AB=AC∴△ABD≌△CAE∴BD=AE且AD=CE∴AE－AD=BD－CE∴DE=BD－CE8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E求证：BE=CF证明：〔略〕AF2BC1DE9.条件缺乏时延长边构造三角形.例：AC=BD，AD⊥AC于A，BCBD于B求证：AD=BC证明：分别延长DA、CB交于点E AD⊥ACBC⊥BD∴∠CAE=∠DBE=90o在△DBE和△CAE中∠DBE=∠CAEEBD=AC∠E=∠EAB∴△DBE≌△CAEO∴ED=EC，EB=EACD∴ED－EA=EC－EB∴AD=BC10....
