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函数的奇偶性(讲义)VIP免费

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函数的奇偶性【知识要点】1.函数奇偶性的定义:一般地,对于函数f(x)定义域内的任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫偶函数(evenfunction).如果对于函数定义域内的任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫奇函数(oddfunction).2.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之亦真•由此,可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象.3.判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别f(-x)与f(x)的关系;(1)奇函数of(-x)=-f(x)of(-x)+f(x)=0o=-1(f(x)丰0);f(x)f()(2)偶函数of(-x)=f(x)of(-x)-f(x)=0o子打=1(f(x)H0).4.函数奇偶性的几个性质:(1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域;(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;(3)若奇函数fC)在原点有意义,则f(0)=0;(4)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数;(5)在公共的定义域内:两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数;两个奇(偶)函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;(6)函数fO与函数说)有相同的奇偶性.(1)fCx—2+、:2—x-2fCx)=、:1—x23f(x)=|ax+b|—ax-b(a-b丰0);⑷f(x)=xI一x2+x+1,x>0,⑸f(x)=1x2+2x+3,x<0,(6)f(x)=10,x=0,—x2+2x—3,x>0.(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;1(3)f(x)二⑷f(x)二丄.x(5)f(x)=x3一2x64f(x)=2x4+-5.奇偶性与单调性:(1)奇函数在两个关于原点对称的区间Lb,-alla,订上有相同的单调性;(2)偶函数在两个关于原点对称的区间Lb,-a]\a,b〕上有相反的单调性.【典例精讲】类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:变式判断下列函数的奇偶性:(7)y=ax+(a>0,b>0)x例2已知f(x)是只上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2一1,求f(x)的表达式。类型二函数奇偶性的简单应用例3(1)设函数f(x)二(x+1)(x+宀为奇函数,求实数a的值;x(2)设函数y=f(x)是奇函数,若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,求f(1)+f(2)的值;1(3)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)二,求f(x)与g(x)的解析式。x+1变式⑴设f(x)是定义在R上的奇函数,当xWO时,f(x)二2x2-x,则f(1)二(2)___________________________________________________________已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(一2)=3,则f(2)=.(3)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=。C.减函数且最大值是-D.减函数且最小值是-类型三函数性质的综合应用例4(1)奇函数f(x)在[-b,-a]上为增函数,试分析它在(a,b]上的单调性(a〉0)。⑵已知奇函数f(x)在单调区间L7,-3〕上有最大值f(-5)=2,则f(x)在(3,7〕上的最值是。⑶已知偶函数f(x)在单调区间L7,-3〕上有最大值f(-5)=2,则f(x)在(3,7〕上的最值是。例5定义在R上的函数f6)满足f(JC+y)=f(x)+f(y),且对任意x,yGR,都成立。(1)证明:函数f(x)是奇函数;⑵如果xGR+,f(x)<0,并且f(1)二-2,试求f(x)在区间L2,6〕上的最值。厶【课堂练习】1.函数y=xIxI+px,xGR是()A.偶函数B.奇函数C.不具有奇偶函数D.与p有关2.若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数,且最小值是1,则它在[-7,-3]上是()A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1A.x=—1B.x=1C1D.x=-3.若函数f(x)=(x+I)(x—a)为偶函数,则a=()(A)—2(B)—1(C)1(D)24.已知f(x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象的对称轴是()5.设奇函数f(x)的定义域为[—5,5],若当xE[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)VO的解是.6.已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+1,f⑵=—1,求f(—2)。【思维拓展】1.定义在L1,1]上的函数fO满足f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x,yG[—1,1],当cf(x)+f(y)八x+y丰0时,都有>0。x+y(1)证明:函数f6)是奇函数;(2)用函数的单调性定义判断并证明函数f(x)在[—1,1]上的单调性。【课外作业】1.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1-x);当x<0时,f(x)等于()A—x(1+x)B.x(1+x)C.x(1-x)D.—x(1—x)2.对于定义域是R的任意奇函数f(x)都有()A.f(x)+f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0C.f(x)-f(-x)<0D.f(x)-f(-x)>03.若f(x)=2-1I2+(m-1L+n-2为奇函数,则m,n的值为()A.m=1,n=2B.m=-1,n=2C.m=±1,n=2D.m=±1,neR4.已知f(x)的定义域为.eRx丰0),且满足2f(x)+/(—)=x,则f(x)的表达式为x5.若f(x)=(m-1L2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)的大小顺序是.6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,在(0,+8)是增函数,且f⑴=0,则f(x+1)<0的解集为.7•若对于一切实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0),并证明f(x)为奇函数;(2)若f(1)=3,求f(-3)。8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,已知x>0时,f(x)=x2-2x.(1)画出偶函数f(x)的图象;(2)根据图象,写出f(x)的单调区间;同时写出函数的值

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