高考导数极值点偏移练习题VIP免费

高考导数极值点偏移练习题1．已知函数fxx2eaaR.x（1）试确定函数fx的零点个数；（2）设x1，x2是函数fx的两个零点，证明：x1x22.【分析】（1）由fx（2）设x10得a2xex，然后利用导数求出gx2xex的单调性即可1x2，设Fxfxf2xx1，然后利用导数可得Fx在1,递增，FxF10，即fxf2x，进而可得fx2f2x2，即f2x2fx1，再由fxgxa的单调性即可得到x1x22.【详解】（1）由fx0得a2xex，令gx2xex，x函数fx的零点个数即直线ya与曲线gx2xe的交点个数， gxe2xe1xe，xxx由gx0得x1；由gx0得x1，单调递减.∴函数gx在,1单调递增，函数gx在1,∴当x1时，函数gx有最大值，gmaxxg1e，又当x2时，gx0，g20，当x2时，gx0，∴当ae时，函数fx没有零点；当ae或a0时，函数fx有一个零点；当0ae时，函数fx有两个零点.（2）由（1）知a0，不妨设x1∴Fxx2exex2x1x2，设Fxfxf2xx1，，由于Fx1xe2xex，又易知ye2xex是减函数，当x1时，有e2xexee0，又1x0，得Fx0，所以Fx在1,递增，FxF10，即fxf2x.由x21得fx2f2x2，又fx20fx1，∴f2x2fx1，由gx2xe在,1上单调递增，得fxgxa在,1单调递减，x又2x21，∴2x2x1，即x1x22.2．已知：f(x)lnx，g(x)exax3ax2(a0)（1）证明：对x1、x2(0,)，且x1x2，有fx1fx2x1x22；x1x2（2）若gx1gx20，求证：x1x2422.【分析】x211x12x1x2x2x1t，只需要证明（1）不妨设x1x20，转化为ln，令x2x1x2x1x21x2h(t)lnt2(t1)0，求导得到单调性得到答案.t1（2）令P(x)xlna2lnxln(x1)，代入化简得到1222，设x1x2x1x22x1x2t，即t28t80，解不等式得到答案.【详解】x2112x1x2xx（1）不妨设x1x20，则原不等式化为ln12x1x2x1x21x2x114(t1)22(t1)t，则只需证h(t)lnt00，f(t)令x2t(t1)2t(t1)2t1故f(t)为增函数，而tx11，故f(t)f(1)0得证.x2x32x2（2）g(x)eaxax0，故eax(x1)（此方程解必满足x1），故xlna2lnxln(x1)，令P(x)xlna2lnxln(x1)，故x1、x2是P(x)的零点，且x1x21由x1lna2lnx1lnx11x2lna2lnx2lnx21，故x1x22lnx1lnx2lnx11lnx21，即12lnx1lnx2lnx11lnx21222，x1x2x1x2x1x22x11x21令x1x2t，则由142，得：t28t80，tt2解得：t422或t422（不合题意舍去）.3．已知函数fxxlnx2axx，aR．2（Ⅰ）若fx在0,内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数fx有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1x2【分析】1．2a（I）先求得函数的导数，根据函数在0,上的单调性列不等式，分离常数a后利用构造函数法求得a的取值范围.（II）将极值点x1,x2代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转x211x2lnx1，利用构造函数法证得上述不等式成立.化为证明x1x21x2【详解】（I）fxlnx24ax．∴fx在0,内单调递减，∴fxlnx24ax0在0,内恒成立，lnx2在0,内恒成立．xxlnx21lnx，则gx令gx，xxx2即4a11gxgx0∴当0x时，，即在0,内为增函数；ee当x11时，gx0，即gx在,内为减函数．ee∴gx的最大值为ge，1e∴a,...