食饵—捕食者模型稳定性分析1VIP免费

食饵—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明x(t)/x1(t)——食饵(食用鱼)在时刻t的数量；y(t)/x2(t)——捕食者(鲨鱼)在时刻t的数量；r1——食饵(食用鱼)的相对增长率；r2——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；N1——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；N2——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1——单位数量捕食者（相对于N2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于N1)消耗的供养甲实物量的1倍；2——单位数量食饵（相对于N1）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于N2)消耗的供养食饵实物量的2倍；d——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。五、模型建立食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为r1，即xrx，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t)满足方程x(t)x(ray)rxaxy(1)比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即ydy，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t)满足y(t)y(dbx)dybxy(2)比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力。方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。下面，我们加入种群自身的阻滞作用，在上两式中加入Logistic项，即建立以下数学模型：xx1(3)x(t)rx121111NN12xx1(4)x(t)rx122222NN12六、模型求解在此，我们采用MATLAB软件求解此微分方程组中的x1(t)、x2(t)的图形及相轨线图形。设11.5，24，r11，r20.4，N13500,N2500,使用MATLAB软件求解，程序代码如下：1)建立M文件functiony=fun(t,x)y=[x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)]';2)在命令窗口输入如下命令：[t,x]=ode45('fun1',[0,40],[2000,35])得到数值解如下：t00.10330.20660.30990.41320.80791.2026(x(1),x(2))1.0e+003*(单位：千克)2.00000.03502.06540.03692.12760.03892.18630.04122.24120.04382.41130.05602.51110.07321.59731.99192.38062.76933.15793.54663.93534.32394.71265.10125.41675.73226.04776.36316.74467.12617.50767.88918.29678.70429.11179.519310.017310.515311.013311.511312.045312.579313.113313.647314.223114.798915.374715.950516.552317.154117.755918.357719.040319.722920.405421.088021.857422.62682.53580.09612.48700.12482.37410.15772.21270.19222.02280.22461.82470.25141.63600.26971.47270.27931.34310.28131.24270.27751.17800.27171.12940.26421.09510.25611.07280.24761.05990.23771.05930.22861.06840.22061.08510.21391.10940.20811....