§数学归纳法1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：n＝n0时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．111111证明：2＋22＋23＋…＋n－1＋2n＝1－2n(其中n∈N＋)．2111[证明](1)当n＝1时，左边＝2，右边＝1－2＝2，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1111112＋22＋23＋…＋2k－1＋2k＝1－2k，那么当n＝k＋1时，111111左边＝2＋22＋23＋…＋k－1＋2k＋k＋1222－1111＝1－2k＋k＋1＝1－k＋1＝1－k＋1＝右边．222这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．11111用数学归纳法证明：1－2＋3－4＋…＋－2n－12n111＝＋＋…＋2n.n＋1n＋2111[证明]①当n＝1时，左边＝1－2＝2＝＝右边，1＋1∴当n＝1时，等式成立．②假设n＝k时等式成立，即111111111－2＋3－4＋…＋－2k＝＋＋…＋2k.2k－1k＋1k＋2则当n＝k＋1时，1111111左边＝1－＋－＋…＋－＋－2342k－12k2k＋12k＋211111＝(＋＋…＋2k)＋－k＋1k＋22k＋12k＋211111＝(＋…＋2k＋)＋(－)k＋22k＋1k＋12k＋2＝1111＋…＋2k＋＋＝右边．k＋22k＋12k＋2∴n＝k＋1时等式成立．由①②知等式对任意n∈N＋都成立．[点评]在利用归纳假设论证n＝k＋1等式成立时，注意分析n＝k与n＝k＋1的两个等式的差别．n＝k＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1111变到.因此在证明中，右式中的应与－合并，才k＋1k＋2k＋12k＋2能得到所证式．因此，在论证之前，把n＝k＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式12n＋1111＋1＋…1＋352k－1＞2成立．145[证明]①当n＝...
