§数学归纳法1.数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:(1)验证:n=n0时,命题成立;(2)在假设当n=k(k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立.2.归纳推理与数学归纳法的关系数学上,在归纳出结论后,还需给出严格证明.在学习和使用数学归纳法时,需要特别注意:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题;(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.1.用数学归纳法证明命题的第一步时,是验证使命题成立的最小正整数n,注意n不一定是1.2.当证明从k到k+1时,所证明的式子不一定只增加一项;其次,在证明命题对n=k+1成立时,必须运用命题对n=k成立的归纳假设.步骤二中,在由k到k+1的递推过程中,突出两个“凑”:一“凑”假设,二“凑”结论.关键是明确n=k+1时证明的目标,充分考虑由n=k到n=k+1时命题形式之间的区别与联系,若实在凑不出结论,特别是不等式的证明,还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n=k+1时命题也成立,这也是证题的常用方法.3.用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成,缺一不可.尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决,但题目若要求用数学归纳法证明,则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行,否则不正确.4.要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式,和由特殊到一般的数学思想的应用,加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力.5.数学归纳法与归纳推理不同.(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个都有这种属性.结果不一定正确,需要进行严格的证明.(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法,结果一定正确.6.在学习和使用数学归纳法时,需要特别注意:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题,要求这个命题对所有的正整数n都成立;(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题.111111证明:2+22+23+…+n-1+2n=1-2n(其中n∈N+).2111[证明](1)当n=1时,左边=2,右边=1-2=2,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1111112+22+23+…+2k-1+2k=1-2k,那么当n=k+1时,111111左边=2+22+23+…+k-1+2k+k+1222-1111=1-2k+k+1=1-k+1=1-k+1=右边.222这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立.11111用数学归纳法证明:1-2+3-4+…+-2n-12n111=++…+2n.n+1n+2111[证明]①当n=1时,左边=1-2=2==右边,1+1∴当n=1时,等式成立.②假设n=k时等式成立,即111111111-2+3-4+…+-2k=++…+2k.2k-1k+1k+2则当n=k+1时,1111111左边=1-+-+…+-+-2342k-12k2k+12k+211111=(++…+2k)+-k+1k+22k+12k+211111=(+…+2k+)+(-)k+22k+1k+12k+2=1111+…+2k++=右边.k+22k+12k+2∴n=k+1时等式成立.由①②知等式对任意n∈N+都成立.[点评]在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时,注意分析n=k与n=k+1的两个等式的差别.n=k+1时,等式左边增加两项,右边增加一项,而且右式的首项由1111变到.因此在证明中,右式中的应与-合并,才k+1k+2k+12k+2能得到所证式.因此,在论证之前,把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的.证明不等式用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式12n+1111+1+…1+352k-1>2成立.145[证明]①当n=...