高中数学讲义微专题57放缩法证明数列不等式VIP免费

微专题57放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若ab,bc，则ac（此性质为放缩法的基础，即若要证明ac，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b，使得ab，从而将问题转化为只需证明bc即可）（2）若ab,cd，则acbd，此性质可推广到多项求和：若a1f1,a2f2,,anfn，则:a1a2anf1f2fn（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若ab0,cd0，则acbd，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：①等差数列求和公式：Sn②等比数列求和公式：Sna1ann，anknm（关于n的一次函数或常值函数）2a1qn1q1q1，ankqn（关于n的指数类函数）③错位相减：通项公式为“等差等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；-1-第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为“Sn常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足，常数可q0,1，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，视为a1的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，1q12再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数=2，即可猜3114111想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为2。244注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即an1anfn或nan1fn（累乘时要求不等式两侧均为正an数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为an，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：（1）11112，其中n2,nN：可称2为“进可攻，退可守”，可依照nn1nnn1n所证不等式不等号的方向进行选择。注：对于1，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特n2征的数列，例如：111111，这种放缩的尺度要小于22nn1n1n12n1n1（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：-2-1141111n2n214n212n12n122n12n14（2）1n2，从而有：nn2n1n2nn11n2nn12nn1注：对于11nn2,n2,nN还可放缩为：nn（3）分子分母同加常数：bbmbbmba0,m0,ab0,m0aamaam此结论容易记混，通常在解题时，这种方法...