第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共6页一元微分学标准化作业题（三）一．本次作业的主要内容：1．函数的连续性与连续函数的运算；2．闭区间上的连续函数的性质。二．通过本次作业要达到的目标：1．理解函数在一点连续的概念，了解初等函数的连续性；2．了解间断点的概念，并会判断间断点的类型；3．应用闭区间上连续函数的性质解题。三．关键词：间断点：discontinuity左连续：leftcontinuous连续函数：continuousfunction零点定理：zeropointtheorem介值定理：intermediatevaluetheorem作业内容一．判断题1．若函数f(x)在x0处有定义，且limx→x0f(x)存在，则f(x)在x0处必连续。2．若函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处间断，则f(x)+g(x)在x0处间断。3．若函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处间断，则f(x)g(x)在x0处间断。4．若函数f(x)在(−∞,+∞)内连续，则他在闭区间[a,b]上连续。二．选择题1．函数f(x)在x0处极限存在是f(x)在x=x0处连续的()条件(A)必要非充分(B)充要(C)充分非必要(D)既非充分也非必要2．x=0是函数f(x)=xarctan1x的()（A）连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)无穷间断点3．为使函数f(x)={x3sin2x,x<0a,x=02xsinx3,x>0在x=0处连续，须取a=()(A)0(B)1(C)2/3(D)无论a取何值，都不能使f(x)在x=0处连续。4．f(x)=m|x+1|+n|x−1|在(−∞,+∞)上()(A)连续(B)仅有两个间断点x=±1，它们都是可去间断点第2页共6页第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共6页(C)仅有两个间断点x=±1，它们都是跳跃间断点(D)以上都不对，其连续性与常数m,n有关。5．f(x)={e1x,x≠0a,x=0，则()（A）当a=0时,f(x)在x=0点左连续（B）当a=1时,f(x)在x=0点左连续（C）当a=0时,f(x)在x=0点右连续（D）当a=1时,f(x)在x=0点右连续6．下列结论中正确的是()(A)若f(x)在(a,b)内连续，且在x=ax与=b点有定义，则f(x)在[a,b]上必有界(B)函数f(x),g(x)在[a,b]上都连续的必要条件是函数f(x)+g(x)在[a,b]上有界。(C)若f(x)在[a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。(D)若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈(a,b),使f(ξ)=12[f(a)+f(b)]7．f(a)⋅f(b)<0，是方程f(x)=0在(a,b)有解的()(A)充分条件,非必要条件;(B)必要条件,非充分条件;(C)充分条件(D)无关条件8．设函数f(x)在[a,b]上有定义，则方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实根的条件时()(A)f(x)在[a,b]上单调，且f(a)⋅f(b)<0(B)f(x)在(a,b)上连续，且f(a)⋅f(b)<0(C)f(x)在[a,b]上连续单调，且f(a)⋅f(b)<09．方程x3−5x+1=0在（）内至少有一实根。(A)(−1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(3,4)三．填空题1．函数f(x)={cosπx2,|x|≤1|x2−x|,|x|>1的间断点为________。第3页共6页第2页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共6页2．若函数f(x)=(x+3)|x+2|x2−a有跳跃间断点，则a=___，跳跃间断点为x0=____3．若x=1是函数f(x)=x2+3x+bx2−3x+a的可去间断点，则a=____,b=_____。4．limx→0sinx2x+limx→∞sinxx+limx→π2sinxx=_____。5．limx→0+1−e1x1+e1x=______；limx→0−1−e1x1+e1x=______6．设f(x)=ln(1−x)x，若要使f(x)在x=0处连续，则应补充f(0)=_____。7．A=，f(x)={(cosx)1x2，x当≠0A,x当=0,在x=0处连续。四．计算题1．limn→∞n(n√x−1)2．设xn=(1+2n+3n)1n，求limn→∞xn。3．若limn→∞(x2+1x+1−ax−b)=0，求a,b的值。4．设，S2=√a+√a，……，Sn=√a+√a+√a+⋯+√a，a≻0，求第4页共6页第3页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共6页limn→∞Sn。五．讨论函数f(x)={|x|,|x|≤14πarctan1π,|x|>1的连续性。六．下列函数在指出的点处间断，这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续。1．y=1(x−1)2,x=12．y=x2−1x2−3x+2,x=1,x=23．y=xtanx,x=kπ,x=kπ+π2,(k=0,±1,±2,⋯)4．y={x,x≤2x2,x>2,x=2七．求下列各题中的常数a,b，使所给函数在指定点处连续。第5页共6页第4页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共6页（1）f(x)={5x2+(4−a)x+ax3+8,x≠−2b,x=−2,x0=−2（2）f(x)={√ax+b−2x−1,x≠1−1,x=1,x0=1八．试确定常数a与b的值，是函数f(x)=limn→∞x2n−1+ax2+bxx2n+1。九．设f(x),g(x)在[a,b]上连续，并且f(a)g(b),证明：方程f(x)=g(x)在(a,b)内必有实根。十．设f(x)=ex−2,求证在区间(0,2)内至少存在一点ξ，使eξ−2=ξ。第6页共6页第5页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共6页十一．试证：方程sinx+x+1=0在(−π2,π2)内至少有一个实根。
