圆的方程、直线与圆的位置关系一、内容提示：1.圆的方程：圆的标准方程：（圆心，半径为）圆的一般方程：（其中），圆心为点，半径（Ⅰ）当时，方程表示一个点，这个点的坐标为（Ⅱ）当时，方程不表示任何图形。2.直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（Ⅰ）若22BACBbAad，相离，即直线与圆没有公共点；（Ⅱ）相切，即直线与圆只有一个公共点；（Ⅲ）相交，即直线与圆有两个公共点。3.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为，半径分别为，dOO21。外离；外切；相交；内切；内含。二、例题分析：【例1】求经过原点，且过圆和直线的两个交点的圆的方程。【例2】已知直线:与圆:.（1）判断直线圆的位置关系;（2）求直线被圆所截得的弦长.三、典题精练：1.圆关于原点对称的圆的方程为()A.B.C.D.2.若为圆的弦的中点，则直线的方程是()A.B.C.D.3.圆上的点到直线的距离最大值是()A.B.C.D.4.圆在点处的切线方程为()A.B.C.D.5.圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为____________.6.从点向圆（x－2）2＋y2＝4引切线，求切线方程。7.自发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆C：相切，求光线所在直线方程。8.求经过直线：及圆C：的交点，且面积最小的圆的方程。9.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。四、方法反馈：1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：(1)当圆与直线相离时，圆心到的距离大于半径；过圆心且垂直于的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到的距离的最大、最小的点。(2)当圆与直线相切时，圆心到的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。(3)当圆与直线相交时，圆心到的距离小于半径，过圆心且垂直于的直线平分被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。五、答案参考：【例1】解法一：由，求得交点或设所求圆的方程为．∵三点在圆上，∴，解得所求圆的方程为：解法二：设所求圆的方程为．将原点代入上述方程得，所求圆的方程为：【例2】（1）解法一:由方程组(Ⅰ)消去后整理，得,∵,∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线与圆相交.解法二:圆心(7,1)到直线的距离为,因，故直线与圆相交.（2）解法一:由方程组，得，设直线与圆C的两交点为、，则∴∴直线被圆所截得的弦长为。解法二:∵圆心(7,1)到直线的距离为,又圆的半径=6，∴直线被圆所截得的弦长为2三、典题精练：1.A解析：关于原点得，则得，即。2.A解析：设圆心为，则,即。3.B解析：圆心为圆心到直线的距离为，。4.D解析：圆的圆心为，则，,所以切线方程为：，即。5.解析：圆心既在线段的垂直平分线即，又在上，即圆心为，，所以圆的方程为。6.解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为即，又圆心坐标为因为圆心到切线的距离等于半径，即所以切线方程为当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是。所以，所求的切线方程为：或。7.解：圆C的方程为：，它关于轴对称圆的方程为：，设光线所在的直线方程为：，则光线所在的直线必与圆相切，故，即，解得，∴光线所在直线方程为或8.解：设所求圆的方程为，即，则所求圆的圆心为。∴，解得，∴所求圆的方程为.9.解：设圆心为由于圆和轴相切，半径为，令圆心到直线的距离为，则，而或
