3．1.1倾斜角与斜率学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握直线倾斜角的定义和取值范围．2．掌握直线斜率的定义、斜率与倾斜角的关系．3．掌握过两点的直线的斜率计算公式．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一求直线的倾斜角与斜率学习目标预习导学典例精析栏目链接例1直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率．分析：对于直线l1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而求直线l2的斜率则需要先求出倾斜角α2.解析：l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝33.∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及三角函数的诱导公式及特殊角正切值，还用到了平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tanα2即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．求倾斜角为下列数值的直线的斜率．(1)α＝30°；(2)α＝45°；(3)α＝60°；(4)α＝0°.解析：(1)k＝tan30°＝33；(2)k＝tan45°＝1；(3)k＝tan60°＝3；(4)k＝tan0°＝0.题型二根据斜率公式求斜率学习目标预习导学典例精析栏目链接例2已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解析：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝2－3－4－3＝17，直线AC的斜率kAC＝－2－30－3＝53，∴直线AB的斜率为17，AC的斜率为53.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)如图，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：(1)当已知两定点坐标，求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等．若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解．(2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1，1)，(2，4)；(2)(－3，5)，(0，2)；(3)(4，4)，(4，5)；(4)(10，2)，(－10，2)．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)k＝4－12－1＝3＞0，则倾斜角是锐角；(2)k＝2－50－（－3）＝－1＜0，则倾斜角是钝角；(3)倾斜角是90°(无斜率)；(4)k＝2－2－10－10＝0，则倾斜角为0°.题型三三点共线问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例3求证：A(1，1)，B(4，7)，C(－1，－3)三点共线．证明：由斜率公式知kAB＝7－14－1＝2，kAC＝1＋31＋1＝2.则kAB＝kAC，且直线AB与AC均过点A，即直线AB与AC重合，也即A，B，C三点共线．点评：已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三点一定共线；反之，当三点共线时，任意两点连线的斜率一定相等(除非都不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，有时要先进行讨论，然后再下结论．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．(巧解题)已知三点A(0，a)，B(2，3)，C(4，5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．解析：∵三点的横坐标不等，∴三点所共直线的斜率存在．由斜率公式可得kAB＝3－a2－0＝3－a2，kBC＝5a－34－2＝5a－32.∵三点在一条直线上，学习目标预习导学典例精析栏目链接∴kAB＝kBC，即3－a2＝5a－32，解得a＝1.此时这条直线的斜率k＝kAB＝3－12＝1，设这条直线倾斜角为α，当0°≤α<180°时，只有tan45°＝1，∴α＝45°，即这条直线的倾斜角为45°.
