2．4平行与垂直综合问题学习目标预习导学典例精析栏目链接能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一线面垂直、面面垂直的综合问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例1如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角PBCD是45°的二面角．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：由题目可获取以下主要信息：①ABCD是正方形，边长为a；②PD＝a，PA＝PC＝2a.解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定．第(3)问可先找出二面的平面角，再证明平面角等于45°.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PDBC⊥，又BCDC.BC⊥∴⊥平面PDC，∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角PBCD的平面角．在RtPDC△中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角PBCD是45°的二面角．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．如右下图所示，在棱长均为2的斜三棱柱ABCDEF中，已知BFAE⊥，BF∩CE＝O，AB＝AE，连接AO，求证：AO⊥平面FEBC.证明：∵BCFE是菱形，∴BF⊥EC，又∵BFAE⊥，且AE∩EC＝E，∴BF⊥平面AEC，而AO⊂平面SEC，∴BF⊥AO，∵AE＝AB，AB＝AC，∴AE＝AC.∴AO⊥EC，且BF∩CE＝O，∴AO⊥平面BCFE.题型二线面平行与垂直的综合应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例2如右图所示，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是正三角形，且AD＝DE＝2，AB＝1，F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE;(2)求多面体ABCDE的体积．学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)证明：如图，取CE的中点M，连接FM，BM，则有FM12DEAB，所以四边形AFMB是平行四边形，故AF∥MB，又BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)解析：易得DE⊥AF，AF⊥CD，所以AF⊥平面CDE，又AF∥MB故BM⊥平面CDE，所以VABCDE＝VB－ACD＋VB－CDE＝33＋23×32×2＝3.学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：由题目可获取以下主要信息：(1)EC⊥平面ABC，正三角形ABC；(2)BDCE∥且CE＝CA＝2BD.解答本题可先由线∥线，线⊥面的性质，再由M是EA的中点得线⊥线，线⊥面，进而证得面⊥面．证明：(1)如右图所示，取EC的中点F，连接DF，∵EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EC⊥BC，易知DFBC∥，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，学习目标预习导学典例精析栏目链接∵EF＝EC，EC＝2BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MNEC∥，且MN＝EC.∵EC∥BD，∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CABN⊥，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)DMBN∵∥，BN⊥平面CAE，∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键．
