2013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用随堂检测（含解析）新人教版1．已知a、b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()A.B.C.D.解析：选B.(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即|a|＝|b|，∴|a|2－2|a|2cosθ＝0，解得cosθ＝，即a与b的夹角θ为.故选B.2．(2011·高考大纲全国卷)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()A.B.C.D.解析：选B.∵|a|＝|b|＝1，a·b＝－，∴|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝1＋4＋4×＝5－2＝3.∴|a＋2b|＝.3．(2011·高考辽宁卷)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.－1B．1C.D．2解析：选B.由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴|a＋b－c|≤1.4．已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(cosθ，sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点．(1)若|BC－BA|＝，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足mOA＋nOB＝OC，求(m－3)2＋n2的最大值．解：(1)∵|BC－BA|2＝|AC|2＝(cosθ－1)2＋(sinθ－1)2＝－2(sinθ＋cosθ)＋4，∴－2(sinθ＋cosθ)＋4＝2.即sinθ＋cosθ＝.两边平方，得1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝－.(2)由已知，得(m，m)＋(n，－n)＝(cosθ，sinθ)，∴解得∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝－3(sinθ＋cosθ)＋10＝－6sin(θ＋)＋10.∴当sin(θ＋)＝－1时，(m－3)2＋n2取得最大值16.1
