高一数学三角函数的图象与性质（二）VIP专享VIP免费

三角函数的图象与性质（二）一、基本知识：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．二、例题分析：【例1】(2004年湖北卷)设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（A）A．B．C．D．【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象与性质以及分析问题与解决问题的能力．“会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型”，此类问题的求解一般是先找出周期，定出A与是的值，最后确定的值．【标准答案】A【例2】函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得T=6π，所以ω=．所以y=2sin(+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(＋）．【例3】右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；用心爱心专心xyππ3－3O（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．解：（1）T=－=4π．∴ω==．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin沿x轴向右平移而得到的．∴解析式为y=3sin(x－)．(2)设（x，y)为y=3sin(x－）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x，y)，故与y=3sin(x－）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin［（4π－x)－］=－3sin(x＋）．点评y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．【例4】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1(x∈R)．(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.解题突破口：利用三角公式进行恒等变形化简为,（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．必须搞清A、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．解(1)y=·+·sin2x+1=sin(2x+)+．当2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z时，ymax=．(2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移个单位即可．点评（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．【例5】已知函数.（I）函数的最小正周期和最大值;用心爱心专心（II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能、“五点”法作图以及运算能力.解题突破口：要求函数数的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.要画出函数上的图象.主要用“五点”法作图.【标准答案】（I）所以函数的最小正周期为π，最大值为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知111故函数在区间上的图象是【例6】(2003年北京卷)已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，求的最大值、最小值.【思路串讲】本题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力.解题突...