高一数学三角函数与平面向量复习例谈VIP专享VIP免费

三角函数与平面向量复习例谈三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具.学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点.一、三角函数问题1．三角函数的图像和性质（1）具体要求：①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（±，±的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx图像，了解三角函数的周期性；④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在（-,）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）；⑤理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+)的图像，观察参数A，ω，对函数图像变化的影响；⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势.例1.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,∣∣<)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2),(x0+3,-2).（1）求f(x)的解析式；（2）用五点作图法画出函数f(x)在长度为一个闭区间上的简图；（3）写出函数f(x)的单调区间；（4）写出f(x)>的角x的集合；（5）函数f(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sinx的图像.解：（1）依题意可知A=2，=2·4=8，=，于是得f(x)=2sin(x+)用心爱心专心又x=0时f(0)=2sin=1，sin=，且∣∣<，∴=.f(x)=2sin(x+)（2）列表如下：x+02x-y020-20描点作图得函数的图像如下：（3）函数f(x)的单调增区间是[-+8k，+8k]（k∈Z），减区间是[+8k，+8k]（k∈Z）.（4）f(x)>的角x的集合是{x∣+8k＜x＜2+8k,k∈Z}.（5）把函数f(x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的；再把所得函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的；再把所得的函数图像向右平移个单位即得函数y=sinx的图像.点评：本题重点考查相关的基础知识和基本方法，考查阅读理解及语言表达能力.狠抓双基的学习是永恒的话题.例2．（2006·湖北·理）设函数=a·(b+c)，其中向量a=(sinx，-cosx)，b=(sinx，-3cosx)，c=(-cosx，sinx)，x∈R.（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，用心爱心专心求长度最小的d.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，于是d＝（，－2），∣d∣k∈Z.因为k为整数，要使∣d∣最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.点评：本题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.在这里我们也可以看到，所谓的高考试题，实际上更加注重对双基的考查，提醒我们平时学习要注重基础，注重对所学知识的融会贯通.2三角恒等变换(1)具体要求①经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.(2)题型示例：这部分的问题主要是化简、求值、证明等问题.例3.（2005•福建）已知-