专题03概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差(一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件与事件互斥,则.推广：如果事件,,…,两两互斥(彼此互斥),那么事件发生的概率,等于这个事件分别发生的概率的和,即.②若事件与事件互为对立事件,则.2.古典概型的概率公式P(A)＝．(二)随机变量的分布列、期望与方差1.常用的离散型随机变量的分布列(1)二项分布如果随机变量的可能取值为0,1,2,…,n,且取值的概率(其中),其随机变量分布列为01…k…n……则称服从二项分布,记为.(2)超几何分布在含有件次品的件产品中,任取件,其中恰有件次品,则事件发生的概率为,其中,且,,,,.此时称随机变量的分布列为超几何分布列,称随机变量服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率I.条件概率一般地,设,为两个事件,且,称为事件发生的条件下,事件发生的条件概率.在古典概型中,若用表示事件中基本事件的个数,则.II.相互独立事件(1)若相互独立.则.(3)若与相互独立,则与,与,与也都相互独立.III.独立重复试验与二项分布在次独立重复试验中,事件发生次的概率为(每次试验中事件发生的概率为),事件发生的次数是一个随机变量,其分布列为,此时称随机变量服从二项分布.3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差(1)若离散型随机变量的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称为随机变量的均值或数学期望.(2)若,则,.(3)若,则..4.正态分布(1)正态曲线的性质：①曲线位于轴上方,与轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线对称；③曲线在处达到峰值；④曲线与轴之间的面积为1；⑤当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿轴平移,⑥当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率①；②；③.二、统计与统计案例(一)抽样方法1．简单随机抽样设一个总体含有个个体,从中逐个不放回地抽取个个体作为样本,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．2．系统抽样的步骤假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本．(1)先将总体的个个体编号．(2)确定分段间隔,对编号进行分段,当是整数时,取．如果遇到不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将加上间隔得到第2个个体编号,再加得到第3个个体编号,依次进行下去,直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．注：不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的．（二）统计图表的含义1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．（三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即．4．方差：(是样本数据,是样本容量,是样本平均数)．5.标准差：．（四）线性回归直线方程1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)相关系数r＝,当时,表示两个变量正相关；当时,表示两个变量负相关．的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当...
