专题04立体几何1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥PABCD−中，AB//CD，且
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
由（1）及已知可得，，，
设是平面的法向量，则即可取
设是平面的法向量，则即可取
则，所以二面角的余弦值为
【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角
建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键
2．（2017全国2卷理科）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：直线平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中点，连结，．因为是的中点，所以∥，，由得∥，又，所以，四边形是平行四边形，∥．又平面，平面，故平面．（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，即．①又M在棱PC上，设，则．②由①②解得(舍去)，．所以，从而．设是平面ABM的法向量，则即所以可取．于是，因此二面角的余弦值为．【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cosθ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．3
（2017全国3卷理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三
