专题04立体几何1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥PABCD−中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.2．（2017全国2卷理科）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点．（1）证明：直线平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中点，连结，．因为是的中点，所以∥，，由得∥，又，所以，四边形是平行四边形，∥．又平面，平面，故平面．（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，即．①又M在棱PC上，设，则．②由①②解得(舍去)，．所以，从而．设是平面ABM的法向量，则即所以可取．于是，因此二面角的余弦值为．【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cosθ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．3.（2017全国3卷理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.设是平面DAE的法向量，则即可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.4．如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【解析】(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，作Ay⊥平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)．设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝2，则n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝＝＝，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.5．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)设＝λ(0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．故BC2＋BC＝CC，所BC⊥BC1，而BC∩AB＝B，所以BC1⊥平面ABC.(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1，0，)，C(1,0,0)，C1(0,0...
