第18练空间角与空间向量【理】一.题型考点对对练1.(立体几何的综合问题)【浙江省源清中学2018届月考】如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为（）A.4B.C.D.【答案】D.显然且.所以.因为，所以.所以当，取得最小值12.所以的最小值为.故选D.2.(立体几何的综合问题)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称．从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】3.(利用向量证明平行、垂直的位置关系)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面,垂直于和,,,是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是直线上的动点,与平面所成的角为,求的最大值．【解析】（Ⅰ）以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,∴,,,设平面的一个法向量为,则∴令,得． ,∴,∴平面．（Ⅱ）易知平面的一个法向量为,设平面与平面所成的二面角为,易知,则,∴,所以平面与平面所成的二面角的余弦值为．（Ⅲ）设,则,易知平面的一个法向量为,∴,当,即时,取得最大值,且．4.（利用空间向量求空间角）如图,在几何体中,四边形是菱形,平面,,.（1）证明：平面平面.（2）若二面角是直二面角,求与平面所成角的正切值.（2）以点为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系,如图.做的中点,连接,因为平行且等于,.所以四边形为平行四边形,因为在中,,所以,所以，设长为,则各点坐标为；；；，所以；；，设为面的法向量；为面的法向量.所以；，得，令得，同理得，因为二面角是直二面角,所以，得，由题可得：为与平面所夹角，因为，所以5.（利用空间向量求空间角）【四川省成都市2018届一诊模拟】如图，在边长为4的菱形中,，点分别是的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值.（2）设，连接为等边三角形，，在中，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，由得令得平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量为，设求二面角的平面角为，则二面角的余弦值为6.(立体几何的综合问题)已知四边形为直角梯形,为中点,与交于点,沿将四边形折起,连接．（1）求证：平面;（2）若平面平面．（I）求二面角的平面角的大小；（II）线段上是否存在点,使平面,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由．（2）由已知为边长为2的正方形,∴,因为平面平面,又,∴两两垂直．以为原点,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则．（I）可求平面法向量为,平面法向量为,∴,所以二面角的平面角的大小为（II）假设线段上是否存在点,使平面,设（）,则, 平面,则,可求．所以线段上存在点,使平面,且．二.易错问题纠错练7.(线段上的动点坐标不知如何表示)如图所示,在空间直角坐标系中,是坐标原点,有一棱长为的正方体和分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】题图所示的空间直角坐标系中,易得,则,由于E是体对角线上的动点,可设,则,设,于是,显然当时,,故选B．【注意问题】由于E是体对角线上的动点,可设,8.（把二面角等同于两法向量的夹角）《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图,在阳马中,侧棱底面,且,为中点,点在上,且平面,连接,．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是,说明理由；（Ⅲ）已知,,求二面角的余弦值．（Ⅱ）四面体是鳖臑,其中,．（Ⅲ）以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系．,,,,．设,则．得解得．所以．设平面的法向量,令得,．平面的法向量,平面的法向量,,．因为二面角是锐角,所以二面角的余弦值为．【注意问题】,．因为二面角是锐角,所以...
