创新设计（江苏专用）高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题三 数列 第2讲 数列的综合应用练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题三数列第2讲数列的综合应用练习理一、填空题1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案－2.(2012·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，若函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′＝________.解析因为各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，所以a4＝2，q＝2，故an＝2n－3，又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9，所以f′＝2－2＋2×2－2＋3×2－2＋…＋10×2－2＝2－2×＝.答案3.已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＋2＝3an＋1－2an，则{an}的前n项和Sn＝________.解析 an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴＝2，∴数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝2n－1，∴a2－a1＝20，a3－a2＝21，a4－a3＝22，…，an－an－1＝2n－2，∴an－a1＝20＋21＋…＋2n－2＝＝2n－1－1，∴an＝2n－1－1，∴Sn＝(20＋21＋…＋2n－1)－n＝－n＝2n－n－1.答案2n－n－14.(2015·南京、盐城模拟)已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn－≤B对n∈N*恒成立，则B－A的最小值为________.解析依题意得Sn＝＝1－，当n为奇数时，Sn＝1＋∈；当n为偶数时，Sn＝1－∈.由函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数得Sn－的取值范围是∪，因此有A≤－，B≥，B－A≥＋＝，即B－A的最小值是.答案5.数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为________.解析因为an＝n2＝n2cos，由于cos以3为周期，且cos＝－，cos＝－，cos＝1，所以S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝＝＝470.答案470二、解答题6.数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；(3)求数列{an}的前n项和Sn.解(1)由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9， 9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1，(n≥2且n∈N*)∴2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1.即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列.(3)由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴bn＝n＋，∴an＝·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1，Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n，①∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1，∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.7.(2012·江苏卷)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N*.(1)设bn＋1＝1＋，n∈N*，求证：数列是等差数列；(2)设bn＋1＝·，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值.(1)证明由题设知an＋1＝＝＝，所以＝，从而－＝1(n∈N*)，所以数列是以1为公差的等差数列.(2)解因为an＞0，bn＞0，所以≤a＋b＜(an＋bn)2，从而1＜an＋1＝≤.(*)设等比数列{an}的公比为q，由an＞0知q＞0.下证q＝1.若q＞1，则a1＝＜a2≤，故当n＞logq时，an＋1＝a1qn＞，与(*)矛盾；若0＜q＜1，则a1＝＞a2＞1，故当n＞logq时，an＋1＝a1qn＜1，与(*)矛盾.综上，q＝1，故an＝a1(n∈N*)，所以1＜a1≤.又bn＋1＝·＝·bn(n∈N*)，所以{bn}是公比为的等比数列.若a1≠，则＞1，于是b1＜b2＜b3.又由a1＝得bn＝(n∈N*)，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾，所以a1＝，从而bn＝＝.所以a1＝b1＝.8.(2013·江苏卷)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和.记bn＝，n∈N*，其中c为实数.(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.证明由题设，Sn＝na＋d.(1)由c＝0...