第3讲导数的应用(二)最值及导数的综合应用基础巩固1.当x≠0时,有不等式()A.ex<1+xB.当x>0时,ex<1+x,当x<0时,ex>1+xC.ex>1+xD.当x<0时,ex<1+x,当x>0时,ex>1+x【答案】C【解析】设y=ex-1-x,则y'=ex-1,于是当x>0时,函数y=ex-1-x是递增的;当x<0时,函数y=ex-1-x是递减的.故当x=0时,y有最小值y=0.因此应选C.2.右图中三条曲线给出了三个函数的图象,一条表示汽车位移函数s(t),一条表示汽车速度函数v(t),一条是汽车加速度函数a(t),则()A.曲线a是s(t)的图象,b是v(t)的图象,c是a(t)的图象B.曲线b是s(t)的图象,a是v(t)的图象,c是a(t)的图象C.曲线a是s(t)的图象,c是v(t)的图象,b是a(t)的图象D.曲线c是s(t)的图象,b是v(t)的图象,a是a(t)的图象【答案】D【解析】由于v(t)=s'(t),a(t)=v'(t),注意到所给的三条曲线中,只有曲线a上有部分点的纵坐标小于零,因此只有曲线a才能作为加速度函数a(t)的图象,曲线b有升有降,因此其导函数图象有正有负,这与所给曲线a的形状吻合,因此b为速度函数v(t)的图象.3.(2013届·江苏无锡月考)已知a≤+lnx,x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】设f(x)=+lnx,则f'(x)=+=,当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间上单调递减,当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,因此f(x)min=f(1)=0.故a≤0,即a的最大值为0.4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,则使行驶每千米的费用总和最小时,此轮船航行速度为()A.20km/hB.25km/hC.19km/hD.18km/h【答案】A【解析】设轮船速度为x(x>0)时,燃料费用为Q元,则Q=kx3,由6=k×103可得k=,于是Q=x3,总费用y=·=x2+,y'=x-,令y'=0得x=20,当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减,当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增,因此当x=20时,y取得最小值.故此轮船以20km/h的速度行驶每千米的费用总和最小.5.已知f(x)=x2-cosx,x∈[-1,1],则导函数f'(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值,又有最小值的奇函数【答案】D1【解析】f'(x)=x+sinx,显然f'(x)是奇函数,令h(x)=f'(x),则h(x)=x+sinx,求导得h'(x)=1+cosx.当x∈[-1,1]时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.故f'(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.6.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,则y'=4πaR-.令y'=0,得=.结合题意知,应选C.7.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.15【答案】A【解析】求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,从而可得a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,因此当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值为-13.8.函数f(x)=x2-lnx的最小值为.【答案】【解析】由得x>1.由得0
