训练8平面向量线性运算及综合应用问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()．A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝()．A．1B.C.D．23．(2012·厦门质检)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()．A.B.C．－D．－4．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)．若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()．A.B.C.D.5．平面上不共线的4个点A，B，C，D，若(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．8．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1，0)．(1)若x＝，求向量a，c的夹角；(2)当x∈，时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．10．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．11．(12分)(2012·青岛二中模拟)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinCcos1C－cos2C＝，且c＝3.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a、b的值．参考答案1．B[两边平方求解．由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.]2．C[如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|＝1，∴△AOB为正三角形，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2－2a·b＝1，∴a·b＝，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×＝3，∴|a＋b|＝.]3．A[由于AD＝2DB，得CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，结合CD＝CA＋λCB，知λ＝.]4．C[依题意得，sinAcosB＋cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sinC＋cosC＝1，2sinC＋＝1，sinC＋＝.又＜C＋＜，因此C＋＝，C＝，选C.]5．B[(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，∴|AB|＝|AC|.∴△ABC为等腰三角形．]6．解析a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又∵a－2b与c共线，∴a－2b∥c，∴×－3×k＝0，解得k＝1.答案17．解析由题意：c＝－(a＋b)，又因为(a－b)⊥c，a⊥b，可得⇒⇒|c|2＝(－a－b)2＝2，所以|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案48．解析以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由AB·AF＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.答案9．解(1)当x＝时，cos〈a，c〉＝＝＝－cosx＝－cos＝cos.因为0≤〈a，c〉≤π，所以〈a，c〉＝.2(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin2x－.因为x∈，，所以2x－∈，2π，故sin2x－∈－1，.所以，当2x－＝，即x＝时，[f(x)]max＝1.10．解(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.(2)由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝，得cos－β＝cos，即β－＝2kπ±(k∈Z)．∴β＝2kπ＋或β＝2kπ(k∈Z)，于是cosβ＝0或cosβ＝1.11．解(1)∵sinCcosC－cos2C＝，∴sin2C－cos2C＝1，即sin2C－＝1，∵0＜C＜π，∴2C－＝，解得C＝.(2)∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0，由正弦定理＝，得b＝2a，①∵c＝3，由余弦定理，得9＝a2＋b2－2abcos，②联立方程①②，得3
