训练7三角恒等变换与解三角形(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知α、β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β＝()．A.B.C.和D．－和－2．已知α∈，tan＝，那么sinα＋cosα的值为()．A．－B.C．－D.3．(2012·临沂质检)在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为()．A.B.C.D.π4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cosA，则△ABC为()．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形5．(2012·长沙模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则a＋b的最小值为()．A.B.C.D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·北京西城模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，∠B＝，sinC＝，则c＝________；a＝________.7．在△ABC中，sin2C＝sinAsinB＋sin2B，a＝2b，则角C＝________.8．(2012·东北三省四市教研协作体二调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2011·广东)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．10．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin2－cos2A＝.(1)求角A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3(b＞c)，求b和c的值．11．(12分)(2013·郑州一测)如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒)．1参考答案1．A[因为α、β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝，故选A.]2．A[由tan＝＝，得tanα＝－.又α∈，解得sinα＝，cosα＝－，所以sinα＋cosα＝－.]3．A[由5cos(B＋C)＋3＝0，得cosA＝，则sinA＝，＝，sinB＝.又a＞b，B必为锐角，所以B＝.]4．A[依题意，得＜cosA，sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.]5．D[由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－4，所以有ab＝≤2，解得a＋b≥.]6．解析利用正弦定理可知：c＝＝2，∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－4a－12＝0，∴a＝6.答案：267．解析由正弦定理知，c2＝ab＋b2，所以cosC＝＝＝＝＝，所以C＝.答案8．解析因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6.所以S＝absinC＝×6×＝.答案9．解(1)由题设知：f＝2sin＝2sin＝.(2)由题设知：＝f＝2sinα，＝f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ，即sinα＝，cosβ＝.又α，β∈，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.10．解(1)由2sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，4(1＋cosA)－4cos2A＝5.∴4cos2A－4cosA＋1＝0.∴cosA＝.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得cosA＝.2∵cosA＝，∴＝.∴(b＋c)2－a2＝3bc.将a＝，b＋c＝3代入上式得bc＝2.由及b＞c，得11．解由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40，在△ABC内，由余弦定理：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：＝，可得|CH|＝|AC|·＝140.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．3
