训练9等差数列、等比数列的基本问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若{an}为等差数列，Sn是前n项和，a1＝1，S3＝9，则该数列的公差d为()．A．1B．2C．3D．42．(2012·泰安二模)在等比数列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于()．A．16B．±4C．－4D．43．(2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()．A．1B．2C．4D．84．(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()．A．3B．4C．5D．65．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()．A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)二、填空题(每小题5分，共15分)6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝，a3＋a4＝1，则a7＋a8的值为________．7．(2012·济南二模)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，且a6－a4＝24，a3a5＝64，则{an}的前6项和是________．8．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．10．(12分)(2011·新课标全国)已知等比数列{an}，a1＝，公比q＝.(1)Sn为{an}的前n项和，求证：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．11．(12分)(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；1(2)求证：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．参考答案1．B[∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9，∴a2＝3，∴d＝a2－a1＝3－1＝2.]2．D[设等比数列{an}的公比为q.则＝＝q8＝16.∴＝＝q4＝4.∴a6a7＝4.]3．A[由题意可知a3a11＝a＝16，因为{an}为正项等比数列，所以a7＝4，所以a7＝a5×22＝4，所以a5＝1.]4．B[由已知得3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，两式作差得3(S3－S2)＝a4－a3，化简整理得a4＝4a3.故公比q＝4.]5．B[由a1＋a2＋…＋an＝3n－1①得：a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．②①－②得：an＝3n－3n－1＝2·3n－1(n≥2)．又当n＝1时，a1＝2也适合上式，∴an＝2·3n－1，∴a＝4·9n－1，∴a＋a＋…＋a＝4(90＋91＋…＋9n－1)＝4·＝(9n－1)．]6．解析设等比数列{an}的公比为q，则a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)q2＝q2＝1.∴q2＝2，∴a7＋a8＝a3·q4＋a4q4＝q4(a3＋a4)＝4.答案47．解析由已知a3a5＝a＝64，又an＞0，∴a4＝8.∴a6＝32，∴q2＝＝＝4，∴q＝2，q＝－2(舍)．∴a1＝1，∴S6＝＝＝63.答案638．解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.答案－＋39．(1)证明b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1.所以{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．(2)解由(1)知bn＝an＋1－an＝－n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－＋…＋－n－2＝1＋＝1＋＝－－n－1，当n＝1时，－－1－1＝1＝a1.所以an＝－(－)n－1(n∈N*)．10．(1)证明因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.(2)解因为bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.2所以{bn}的通项公式为bn＝－.11．(1)解设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明法一对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．法二对任意k∈N＋，2Sk＝，Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝(q2＋q－2)＝0.因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．3
