训练5函数、导数、不等式的综合问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·烟台模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()．2．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()．A．1B.C.D.3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()．A.B.C.D.4．(2011·泉州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是()．A．(0,1)∪(2,3)B．(0,2)C．(0,3)D．(0,1]∪[2,3)5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()．A．a＞－3B．a＜－3C．a＞－D．a＜－二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·衡阳模拟)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．7．某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．8．(2012·温州模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，b∈R)的导函数f′(x)的图象过原点．1(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；(2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值．10．(12分)(2011·洛阳模拟)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，且f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．11．(12分)(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．参考答案1．D[由导数与函数的单调性可得：当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在部分区间内的值是大于0的，且在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．]2．D[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.]3．A[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.]4．A[f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t＋1)内，函数在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.]5．B[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，∴a的取值范围为(－∞，－3)．]6．解析由题得f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.∴a＋b≥2，∴6≥2，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值．答案97．解析 y′＝x2－39x－40，令y′＝0.即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x′＝－1(舍)．当x＞40时，y′＞0.当0＜x＜40时，y′＜0，所以当x＝40时，y最小．答案408．解析由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0.2答案(－4,0)9．解由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b.由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)．(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2...
