训练4导数的几何意义、函数的单调性和极值(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·东北三校二模)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为()．A．－1B．1C．±1D．－22．(2012·河北正定中学模拟)下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于()．A.B．－C.D．－或3．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()．A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0,1]D．[－1,0)∪(0,1]4．(2012·广州一测)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上()．A．有极大值B．有极小值C．是增函数D．是减函数5．(2012·金华十校模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值．若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()．A．－13B．－15C．10D．15二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·厦门质检)已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝________；函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________．8．(2012·温州五校联考)函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增？(3)若P(x0，y0)为f(x)＝图象上任意一点，直线l与f(x)＝的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．10．(12分)已知函数f(x)＝lnx－.(1)当a＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值．111．(12分)(2012·烟台一模)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－.参考答案1．B[因为f′(x)＝2ax＋3，所以由题意得2a×2＋3＝7，解得a＝1.故选B.]2．D[ f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.]3．A[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0，得0＜x≤1.]4．C[依题意知，当x＞0时，f′(x)＝ex－e－x＞e0－e0＝0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，选C.]5．A[求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.于是，f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.]6．解析依题意得f′(x)＝1·ex＋x·ex＝(1＋x)ex；f′(0)＝(1＋0)e0＝1，f(0)＝0·e0＝0，因此函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程是y－0＝x－0，即y＝x.答案(1＋x)exy＝x7．解析 f(x)＝x3－x2＋ax－5，∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，∴a≥1或a≤－3.于是满足条件的a∈(－3,1)．答案(－3,1)8．解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案39．解(1)因为f′(x)＝，而函数f(x)＝在x＝1处取得极值2，所以即解得所以f(x)＝即为所求．(2)由(1)知f′(x)＝＝x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值可知，f(x)的单调增区间是[－1,1]，所以⇒－1＜m≤0.所以当m∈(－1,0]时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增．(3)由条件知，过f(x)的图形上一点P的切线l的斜率k为：k＝f′(x0)＝＝4×＝4，令t＝，则t∈(0,1]，此时，k＝8＝82－.根据二次函数k＝82－的图象性质知：当t＝时，kmin＝－；当t＝1...
