训练3不等式及线性规划问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·济南市3月模拟)若a＞b，则下列不等式恒成立的是()．A．a3＞b3B．lga＞lgbC.a＞bD.＜2．(2012·德州期末考试)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜4}，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为()．A.B.C.D.3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()．A.B．4C.D．54．设a＞0，则函数f(x)＝4x＋≥4(x＞0)成立的一个充分不必要条件是()．A．a≥2B．a＝1C．a＝4D．a≤35．(2012·荆门等八市联考)若实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为()．A．0B．2C．3D．4二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·宁波鄞州区适应性考试)已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．7．已知a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m，n为正数)．若a∥b，则＋的最小值是________．8．(2012·福州质检)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？10．(12分)(2012·温州八校联考)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．11．(12分)(2010·湖南)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．1(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．参考答案1．A[当a＜0，b＜0时，lga，lgb无意义，所以B不正确；当a＞b时，a＜b，所以C不正确；当a＞0，b＜0时，＞，所以D不正确．]2．D[由已知a＜0，把2和4看作方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则∴b＝－6a，c＝8a，即cx2＋bx＋a＜0⇔8ax2－6ax＋a＜0.∵a＜0，∴8x2－6x＋1＞0，解得：x＞或x＜.]3．C[∵a＋b＝2，∴y＝＋＝·＝≥＝.]4．C[由f(x)＝4x＋≥4≥4，得a≥2，所以选C.]5．C[画出可行域可知y＝－2x＋z过时z取得最小值，所以2×＋＝4，b＝3.]6．解析因为点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2.答案27．解析向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.答案3＋28．解析因为二元一次不等式组所表示的平面区域为M，如图阴影部分且左、右两端点坐标分别为P(1,9)，Q(3,8)，由函数y＝ax的图象经过区域M，如图所示．则由图象可知即2≤a≤9.所以a的取值范围是[2,9]．答案[2,9]9．解设每间虎笼的长、宽分别为xm、ym.则s＝xy.(1)由题意知：4x＋6y＝36.∴2x＋3y＝18.又2x＋3y≥2，∴xy≤＝＝，当且仅当2x＝3y＝9，即x＝4.5，y＝3时，s＝xy最大，∴每间虎笼的长为4.5m，宽为3m时，每间虎笼面积最大．(2)由题意知xy＝24，4x＋6y≥2＝48，当且仅当4x＝6y时，取得等号．由得∴每间虎笼的长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小．10．解(1)f′(x)＝ex＋4x－3，则f′(1)＝e＋1，又f(1)＝e－1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＋1＝(e＋1)(x－21)，即(e＋1)x－y－2＝0.(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，即ax≤ex－x2－1.∵x≥，∴a≤.令g(x)＝，则g′(x)＝.令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．∵x≥，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在上单调递增，∴φ(x)≥φ＝－＞0，因此g′(x)＞0，故g(x)在，＋∞上单调递增，则g(x)≥g＝＝2－，∴a的取值范围是.11．(1)证明易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.(2)解由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝.令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是.因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．综上所述，M的最小值为.3
