训练20数学思想在解题中的应用(二)(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是()．A．(0,2)B．(0,1)C．(0,1]D．[0,2]2．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若PF与QF的长分别是p，q，则＋等于()．A．2aB.C．4aD.3．(2012·金华模拟)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为()．A.B.C.或D.或4．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于()．A．an＋1－aB．n(a＋1)C．naD．(a＋1)n－15．(2012·济宁模拟)已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为()．A．3＜a＜4B．3＜a≤4C．3≤a≤4D．3≤a＜4二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·汕头二模)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．7．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________．8．(2012·江西)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2012·盐城模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}是首项为1，公比为b的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.10．(12分)(2012·辽宁)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．11．(12分)(2011·新课标全国)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方1程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x＞0，且x≠1时，f(x)＞.参考答案1．B[转化为f′(x)＝3x2－3b在(0,1)内与x轴有两交点，只需f′(0)＜0且f′(1)＞0.即得0＜b＜1.]2．C[因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ垂直y轴时．此时|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a.]3．D[当双曲线焦点在x轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝；当双曲线焦点在y轴上时，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]4．C[利用常数列判断a，a，a，…，则存在等差数列a＋1，a＋1，a＋1，…或通过下列运算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，q＝1，Sn＝na.]5．C[f(x)＝－sin2x＋sinx＋a＝－2＋a＋.令t＝sinx，t∈[－1,1]，∴f(x)变为g(t)＝－2＋a＋，t∈[－1,1]，g(t)max＝a＋，g(t)min＝a－2,1≤f(x)≤对x∈R恒成立，即g(t)max≤且g(t)min≥1恒成立，即3≤a≤4.]6．解析当a＞1时，y＝ax在[1,2]上递增，故a2－a＝，得a＝；当0＜a＜1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝，得a＝.故a＝或a＝.答案或7．解析由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则＝＝.答案8．解析依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝.答案9．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1.所以an＝(2)当b＝1时，anbn＝此时Tn＝2＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2＋1；当b≠1时，anbn＝此时Tn＝2＋3b＋5b2＋…＋(2n－1)bn－1，①两端同时乘以b得，bTn＝2b＋3b2＋5b3＋…＋(2n－1)bn.②①－②得，(1－b)Tn＝2＋b＋2b2＋2b3＋…＋2bn－1－(2n－1)bn＝2(1＋b＋b2＋b3＋…＋bn－1)－(2n－1)bn－b＝－(2n－1)bn－b，所以Tn＝－－.所以Tn＝210．解(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.由＋y＝1得y＝1－，从而xy＝x＝－2＋.当x＝，y＝时，Smax＝6.从而t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝(x－3)．②由①②得y2＝－(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．11．(1)解f′(x)＝－.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得a＝1，b＝1.(2)证明由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)－＝.考虑函数h(x)＝2lnx－(x＞0)，则h′(x)＝－＝－.所以当x≠1时，h′(x)＜0.而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0.从而当x＞0，且x≠1时，f(x)－＞0，即f(x)＞.3
