训练19数学思想在解题中的应用(一)(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·北京东城模拟)已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ等于()．A．1或2B．2或－C．2D．02．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()．A．18B．24C．60D．903．(2012·临沂模拟)函数y＝的图象大致是()．4．已知集合A＝{(x，y)|x、y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()．A．0B．1C．2D．35．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是()．A.B.C.D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·合肥模拟)AB是过椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，则△FAB面积的最大值是________．7．长度都为2的向量OA，OB的夹角为，点C在以O为圆心的劣弧上，OC＝mOA＋nOB，则m＋n的最大值是________．8．(2012·厦门模拟)已知F是双曲线－＝1的左焦点，定点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)19．(11分)(2012·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．10．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的范围．11．(12分)已知函数f(x)＝2x3＋px＋r，g(x)＝15x2＋qlnx(p，q，r∈R)．(1)当r＝－35时，f(x)和g(x)在x＝1处有共同的切线，求p，q的值；(2)已知函数h(x)＝f(x)－g(x)在x＝1处取得极大值－13，在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处取得极小值，求的取值范围．参考答案1．B[由(λa＋b)⊥(a－λb)得(λa＋b)·(a－λb)＝0，∴(3λ－6,2λ＋1)·(3＋6λ，2－λ)＝0，∴λ＝2或λ＝－，故选B.]2．C[设数列{an}的公差为d.则∴解得：a1＝－3，d＝2，∴S10＝10×(－3)＋×2＝60.]3．A[易知函数y＝是非奇非偶函数，由此可排除C，D项，对此A，B项，当x＞0时，x取值越大，y＝的波动幅度越小，由此排除B项，故选A.]4．C[法一由题得∴或A∩B＝{(x，y)|(1,0)，(0,1)}，所以选C.法二直接作出单位圆x2＋y2＝1和直线x＋y＝1，观察得两曲线有两个交点，故选C.]5．B[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，∵关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，∴即∴－＜k≤0.]6．解析如图所示，F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为平行四边形，S△ABF＝S△ABF′＝·|FF′|·h≤bc.当A与短轴端点重合时，(S△ABF)max＝bc.答案bc7．解析建立平面直角坐标系，设向量OA＝(2,0)，向量OB＝(1，)．设向量OC＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由OC＝mOA＋nOB，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sin，由于0≤α≤，∴≤α＋≤.∴m＋n≤.答案28．解析设双曲线的右焦点为E，则|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|，当A、P、E共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝＝5，|PF|＋|PA|的最小值为9.答案99．解(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.①由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.10．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有即解得∴f′(x)＝3x2－5x－2.由f′(x)＜0，得－＜x＜2.∵y＝f(x)的单调递减区间是.(2)由得不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由得∴Q点的坐标为(0，－1)．设z＝，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线斜率．∵kPQ＝1，由图可知z≥1或z＜－2，即∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．11．解(1)f′(x)＝6x2＋p，g′(x)＝30x＋，由题意得故解得(2)∵h(x)＝f(x)－g(x)＝2x3＋px＋r－15x2－qlnx，∴h′(x)＝6x2＋p－30x－.3由得得∴h′(x)＝6x2＋p－30x－＝＝＝.由题意知h(x)在x＝x1和x＝x2处取得极小值，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2.设m(x)＝6x2－24x＋p－24，则从而24＜p＜42，且则＝＝＞，∴的取值范围是.4
