训练16与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·北京东城模拟)已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点()．A．(2,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(0，－1)2．设AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(－c,0)，则△F1AB的面积最大为()．A．bcB．abC．acD．b23．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()．A．(1,2)B．(－1,2)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)4．(2012·烟台诊断)若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝()．A．－B．－C．－D．－5．(2012·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为()．A．5B．4C．3D．2二、填空题(每小题5分，共15分)6．点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．7．(2012·宝鸡一检)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值为________．8．(2012·镇江调研(一))已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2012·陕西五校二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．10．(12分)(2012·德州一模)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得OM·ON＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．11．(12分)(2012·辽宁)如图，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b1＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．参考答案1．B[因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.]2．A[如图，由椭圆对称性知O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半．又OF1＝c，△F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值为b.所以△F1OB的面积最大值为cb.所以△F1AB的面积最大值为cb.]3．D[由题意知，双曲线的渐近线y＝x的斜率需大于或等于，即≥.∴≥3，≥4，∴≥2，即e≥2.]4．B[(特殊值法)因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.]5．C[由题意设直线l的方程为y＝，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝＝3.]6．解析由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．答案7．解析由离心率e＝2得，＝2，从而b＝a＞0，所以＝＝a＋≥2＝2＝，当且仅当a＝，即a＝时，“＝”成立．答案8．解析设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，又x2∈[0，a2]，所以2c2≤a2≤3c2，所以离心率e＝∈.答案9．(1)解由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2， 直线x－y＋2＝0与圆相切，∴d＝＝b，即b＝，又e＝＝，即a＝c，a2＝b2＋c2，解得a＝，c＝1，2所以椭圆方程为＋＝1.(2)证明设P(x0，y0)(y0≠0)，A(－，0)，B(，0)，则＋＝1，即y＝2－x，则k1＝，k2＝，即k1·k2＝＝...
