训练12三视图及空间几何体的计算问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·石家庄质检)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为()．2．如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()．3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋D．4π＋14．(2012·唐山一模)点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为()．A．32πB．48πC．64πD．16π5．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥SABC的体积为()．A．3B．2C.D．1二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·泉州模拟)一个三棱锥的正(主)视图和侧(左)视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为________．7．(2012·青岛一模)已知某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的体积为________．8．(2012·郑州一质测)在三棱锥ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2012·揭阳一模)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如右，求四棱锥P-ABCD的体积．10．(12分)半径为R的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？11．(12分)如图，已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.求：2(1)它的外接球的体积；(2)它的内切球的表面积．参考答案1．C[如图，当俯视时，P与B，Q与C，R与D重合，故选C.]2．C[因为体积为，而高为1，所以底面为一个直角三角形．故选C.]3．C[由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋，故选C.]4．A[如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做OE⊥AD，∴OO1⊥面ABC，∴AO1＝AB＝，∵OD＝OA，∴E为DA的中点，∵AD⊥面ABC，∴AD∥OO1，∴EO＝AO1＝，∴DO＝＝2，∴R＝DO＝2，∴V＝π(2)3＝32π.]5．C[如图，由Rt△ASC≌Rt△BSC，得CB＝CA，SA＝SB.设AB的中点为M，则SM⊥AB，CM⊥AB，故AB⊥面SMC.故VSABC＝VASCM＋VBSCM＝AB·S△SCM.在Rt△SAC与Rt△SMA中，可求SA＝2，AC＝2，SM＝.由cos∠ASC＝cos∠MSC·cos∠ASM，得＝cos∠MSC·，可得cos∠MSC＝，故sin∠MSC＝＝，∴VSABC＝AB·S△SCM＝×××4××＝，故选C.]6．解析该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为×1×2＝1.答案17．解析由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为直角梯形其面积为(2＋1)×2＝3，高为2，所以V＝×3×2＝2.答案28．解析该三棱锥在一个长方体内，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有∴3外接球的半径为＝，∴S＝4π×2＝43π.答案43π9．解由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，所以VPABCD＝S四边形ABCD·PC＝.10．解取圆柱的一个轴截面ABCD，则⊙O为球的一个大圆．设圆柱的半径为r，高为h，侧面积为S.连接OB，作OH⊥AB交AB于H.在Rt△OBH中，有2＝R2－r2，即h＝2.所以S＝2πrh＝2πr·2＝4πr·，所以S2＝16π2r2(R2－r2)＝－16π2(r2)2＋16π2R2r2.因为这是一个关于r2的二次函数，所以，当r2＝－＝，即r＝R时，S有最大值，最大值为4π·R×＝2πR2.故当这个圆柱的底面半径为R时，它的侧面积最大，最大值是2πR2.11．解(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径．因为AB＝BC＝a，所以AC＝a.所以△SAC为正三角形．由正弦定理得，2R＝＝＝a，因此R＝a，则V外接球＝πR3＝πa3.(2)设内切球的半径为r.作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连接EF.则有SF＝＝＝a，所以S△SBC＝BC·SF＝a×a＝a2，所以S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(＋1)a2.又SE＝＝＝a，所以V棱锥＝S底×h＝a2×a＝a3.所以r＝＝＝a，所以S球＝4πr2＝πa2.4
