过关检测(六)(时间：60分钟满分：90分)1．(本小题满分14分)(2012·徐州调研)如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D，E，F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线时，规定X＝0)．(1)求P；(2)求E(X)2．(本小题满分14分)(2011·盐城调研)有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n＝1,2,3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1)求仅闯过第一关的概率；(2)记成功闯过的关数为X，求X的概率分布和均值．3．(本小题满分14分)(2011·新课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．4．(本小题满分16分)(2011·苏北四市调研)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0＜a＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为X.(1)求X的概率分布及数学期望；(2)在概率P(X＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(X＝1)的值最大，求实数a的取值范围．5．(本小题满分16分)(2011·苏锡常镇扬五市调研)(1)当k∈N*时，求证：(1＋)k＋(1－)k是正整数；(2)试证明大于(1＋)2n的最小整数能被2n＋1整除．(n∈N*)6．(本小题满分16分)(2011·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立．(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论．参考答案过关检测(六)1．解(1)从六点中任取三个不同的点共有C＝20个基本事件，事件“X≥”所含基本事件有2×3＋1＝7，从而P＝.(2)X的分布列为：X01P则E(X)＝0×＋×＋×＋1×＝.答：P＝，E(X)＝.2．解(1)记“仅闯过第一关”这一事件为A，则P(A)＝×＝.(2)由题意，得X的取值有0,1,2,3，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝××＝，即随机变量的概率分布为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3．(1)证明因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.1从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．AB＝(－1，，0)，PB＝(0，，－1)，BC＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)，则cos〈m，n〉＝＝－.故二面角APBC的余弦值为－.4．解(1)P(X)是“X个人命中，(3－X)个人未命中”的概率．其中X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝(1－a)2＝(1－a2)，P(X＝1)＝(1－a)2＋Ca(1－a)＝(1－a2)，P(X＝2)＝Ca(1－a)＋a2＝(2a－a2)，P(X＝3)＝.∴X的概率分布为X0123P(1－a)2(1－a2)(2a－a2)X的数学期望为E(X)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.(2)P(X＝1)－P(X＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)．P(X＝1)－P(X＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝，P(X＝1)－P(X＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.由得0＜a≤，即a的取值范围是.5．证明(1)(1＋)k＝1＋C＋C()2＋…＋C()k，(1－)k＝1－C＋C()2－…＋C(－1)k()k，因此，(1＋)k＋(1－)k＝2[1＋C()2＋C()4＋…]，因为的偶数次幂均为正整数，所以(1＋)k＋(1－)k是正整数．(2)因为0＜(1－)2n＜1，由(1)知(1＋)2n＋(1－)2n为正整数，所以大于(1＋)2n的最小整数为(1＋)2n＋(1－)2n.由于(1＋)2n＋(1－)2n＝[(1＋)2]n＋[(1－)2]n＝2n[(2＋)n＋(2－)n]，由二项式定理知(2＋)n＋(2－)n是一个偶数，所以(1＋)2n＋(1－)2n能被2n＋1整除．6．(1)证明由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a.因为在数列{an}中，an＞0，所以an＋1＞0.所以an－a＞0.所以0＜an＜1.故数列{an}中的任意一项都小于1.(2)解由(1)知0＜an＜1＝，那么a2≤a1－a＝－2＋≤＜，由此猜想：an＜(n≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，显然成立；②当n＝k时(k≥2，k∈N)时，假设猜想正确，即ak＜≤，那么ak＋1≤ak－a＝－2＋＜－2＋＝－＝＜＝，故当n＝k＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜.2
