训练5解三角形(参考时间：80分钟)一、填空题1．(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.2．(2012·南京学情调研)△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足csinA＝acosC，则角C＝________.3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC．则A的取值范围是________．4．(2012·天津改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________.5．(2012·上海改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是________．6．(2012·徐州质检)在△ABC中，已知BC＝1，B＝，且△ABC的面积为，则AC的长为________．7．钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其中最大内角不超过120°，则实数a的取值范围是________．8．(2012·苏州期中，12)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按照固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行______海里．9．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为________．10．在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则＋的取值范围是________．二、解答题11．(2012·浙江理，18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．12．(2012·徐州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为，且b＝，求a＋c的值；13.(2012·南通调研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sinAcosC＝sinB，求的值；(2)若sin(2A＋B)＝3sinB，求的值．14．(2012·南京、盐城模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝(b，a－2c)，n＝(cosA－2cosC，cosB)，且m⊥n.(1)求的值；(2)若a＝2，|m|＝3，求△ABC的面积S.参考答案训练5解三角形1．解析根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)，解得b＝4.答案42．解析根据正弦定理求解．由csinA＝acosC结合正弦定理可得sinCsinA＝sinAcosC，且sinA≠0，所以tanC＝1，C∈(0，π)，故C＝.1答案3．解析由题意并结合正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc⇒b2＋c2－a2≥bc⇒≥1⇒cosA≥，A为△ABC内角⇒0＜A≤.答案4．解析因为8b＝5c，则由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理得cosB＝＝＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.答案5．解析利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状．由正弦定理得a2＋b2＜c2，所以cosC＝＜0，所以∠C是钝角，故△ABC是钝角三角形．答案钝角三角形6．解析由三角形面积公式得acsinB＝，解得c＝4，再由余弦定理得b2＝1＋16－2×1×4×＝13，所以AC的长为.答案7．解析因为a，a＋1，a＋2是三角形三边，所以a＋2＜a＋a＋1，解得a＞1，设三角形的最大内角是α，则90°＜α≤120°，于是0＞cosα＝≥－，解得≤a＜3，综上可得，实数a的取值范围.答案8．解析连接A1B2，因为A1A2＝30×＝10，A2B2＝10，∠B2A2A1＝60°，所以△B2A2A1是等边三角形．A1B2＝10，∠B2A1B1＝45°，在△B2A1B1中，由余弦定理得B2B1＝10，乙船用时20分钟，所以乙船每小时航行30海里．答案309．解析设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝＝，sinA＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinC＝.答案10．解析因为AD＝BC＝a，由a2＝bcsinA，解得sinA＝，再由余弦定理得cosA＝＝＝，得＋＝2cosA＋sinA，又A∈(0，π)，所以由基本不等式和辅助角公式得＋的取值范围是[2，]．答案[2，]11．解(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC.所以tanC＝.(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.于是sinB＝cosC＝.由a＝及正弦定理＝，得c＝.设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.12．解(1)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(C＋B)＝sinA....
