训练4三角函数与三角变换(参考时间：80分钟)一、填空题1．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝－x上，且x＞0，则sinα＝________.2．(2012·镇江期末)计算：sin10°cos20°sin30°cos40°＝________.3．(2012·重庆改编)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．4．(2012·苏州调研)已知＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝________.5．(2012·湖南改编)函数f(x)＝sinx－cos的值域为________．6．已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．7．(2012·徐州质检)函数f(x)＝acos(ax＋θ)(a＞0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是________．8．如图所示，与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象相对应的函数的解析式是________．9．(2012·南京、盐城模拟)已知sin＋sinα＝－，－＜α＜0，则cosα＝________.10．给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f(x)＝2tan的单调递增区间是(k∈Z)；③函数y＝2tan的定义域是；④函数y＝tanx＋1在上的最大值为＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．二、解答题11．(2012·苏北四市调研)已知函数f(x)＝sin·sin＋sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值．12．已知函数f(x)＝a＋b，当x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．13．(2012·无锡期末)如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为(1,0)，∠BOA＝60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA1⊥y轴于A1，过点B作BB1⊥y轴于B1.(1)求经过1秒后，∠BOA的弧度数；(2)求质点A、B在单位圆上第一次相遇所用的时间；(3)记A1B1的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值．14．(2012·广东)已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．参考答案训练4三角函数与三角变换1．解析在角α的终边y＝－x，x＞0上取点P(a，－a)(a＞0)，则sinα＝＝＝－.答案－2．解析原式＝＝＝1＝＝.答案3．解析由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tan(α＋β)＝＝－3.答案－34．解析由3sin2α＝2cosα得3sinαcosα＝cosα，又＜α＜π，∴sinα＝，cosα＝－，∴cos(α－π)＝－cosα＝.答案5．解析因为f(x)＝sinx－cosx＋sinx＝＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]．答案[－，]6．解析cos＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，即sin＝.故sin＝－sin＝－.答案－7．解析设图象上两相邻的最低点A与最高点B坐标分别为(x1，－a)，(x2，a)，且|x1－x2|＝＝，所以|AB|＝＝≥＝2，故最小值是2.答案28．解析由图知，A＝2.函数的周期(用区间长度表示)为－＝4π，∴＝4π，ω＝.又∵在函数的图象上，∴2sin＝0，得×＋φ＝0，即φ＝.∴函数的解析式为y＝2sin.答案y＝2sin9．解析sinαcos＋cosαsin＋sinα＝sinα＋cosα＝sin＝－，sin＝－，又－＜α＋＜，所以cos＝，cosα＝cos＝·＋·＝.答案10．解析①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；②由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，故正确；③由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，故错误；④因为函数y＝tanx＋1在上单调递增，所以x＝时取得最大值为＋1，x＝－时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④.答案②④11．解(1)f(x)＝sinsin＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f＝1.(2)由f＝1，有f＝sin＝1，因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋cosB＝sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜π，0＜sin≤1，所以sinB＋sinC的最大值为.12．解f(x)＝a＋b＝asin＋a＋b，x∈[0，π]时，sin∈，当a＞0时，f(x)∈[b，a＋a＋b]，此时，解得；当a＜0时，f(x)∈[a＋a＋b，b]，此时解得故或13解(1)经过1秒后质点A，B转过的角度分别为1，－1，所以经过1秒后，∠BOA的弧度数为＋2.(2)设经过t秒后相遇，则有t(1＋1)＋＝2π，∴t＝，即经过秒后A，B第一次相遇．(3)y＝＝＝，∴当t＋＝kπ＋(k∈Z)，即t＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝.14．解(1)∵f(x)＝2cos，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.(2)由(1)知f(x)＝2cos，而α，β∈，f＝－，f＝，∴2cos＝－，2cos＝，即cos＝－，cosβ＝，于是sinα＝，cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.2
