训练23矩阵与变换(参考时间：80分钟)1．已知M＝，β＝，计算M5β.2．(2012·苏北四市质量检测)已知矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．3．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.设向量β＝，试计算A5β的值．4．(2012·盐城中学模拟)求使等式＝M成立的矩阵M.5．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；(2)求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下的新曲线的方程．6．已知矩阵A＝.(1)求逆矩阵A－1；(2)若矩阵X满足AX＝，试求矩阵X.参考答案训练23矩阵与变换1．解矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.令β＝mα1＋nα2，所以求得m＝4，n＝－3.M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)＝4·35－3(－1)5＝.2．解(1)M－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝.3．解由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝.矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝4．解设M＝，则＝M＝则⇒，即M＝5．解由题意M＝，(1)由|M－λE|＝0得，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2，∴y＝0，取x＝1；当λ2＝3，∴x＝0，取y＝1.所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量，特征值3对应的特征向量.(2)由逆矩阵公式得：M－1＝，设P(x0，y0)是椭圆＋＝1上任意一点P在M－1下对应P′(x，y)，则＝，∴所以，椭圆＋＝1在M－1的作用下的新曲线的方程为x2＋y2＝1.6．解(1)设A－1＝，则＝＝.∴解得∴A－1＝.(2)∵AX＝∴A－1AX＝A－1，即X＝A－1，∴X＝＝.1
