训练23矩阵与变换(参考时间：80分钟)1．已知M＝，β＝，计算M5β
2．(2012·苏北四市质量检测)已知矩阵M＝
(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．3．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝
设向量β＝，试计算A5β的值．4．(2012·盐城中学模拟)求使等式＝M成立的矩阵M
5．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；(2)求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下的新曲线的方程．6．已知矩阵A＝
(1)求逆矩阵A－1；(2)若矩阵X满足AX＝，试求矩阵X
参考答案训练23矩阵与变换1．解矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3
令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝
令β＝mα1＋nα2，所以求得m＝4，n＝－3
M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)＝4·35－3(－1)5＝
2．解(1)M－1＝
(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝
3．解由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝
矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3
当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝4．解设M＝，则＝M
