训练22几何证明选讲(参考时间：80分钟)1．(2011·南通调研)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.2．(2012·南京、盐城一模)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P.求证：PD2＝PA·PC.3．(2012·南京二模)如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G，求证：DH＝DG.4．(2012·南通模拟)如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD＝2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．5.(2012·徐州模拟)如图，半径分别为R，r(R＞r＞0)的两圆⊙O，⊙O1内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连接PT交⊙O1于点M，PN与内圆⊙O1相切，切点为N.求证：PN∶PM为定值．6．(2012·南通、泰州、扬州调研)如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC＝，CD切半圆O于点D，DE⊥AB，垂足为E.若AE∶EB＝3∶1，求DE的长．参考答案训练22几何证明选讲1．证明因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAC＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.2．证明连接OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP＝90°，所以∠OEB＋∠BEP＝90°，因为OB＝OE，所以∠OBE＝∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE＋∠BDO＝90°.故∠BEP＝∠BDO＝∠PDE，PD＝PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2＝PA·PC，故PD2＝PA·PC.3．证明连接BG，如图，因为AD是△ABC的高，所以∠CAD＋∠ACB＝.同理∠HBD＋∠ACB＝.所以∠CAD＝∠HBD.又因为∠CAD＝∠CBG，所以∠HBD＝∠CBG，又因为∠BDH＝∠BDG＝90°，BD＝BD，所以△BDH≌△BDG.所以DH＝DG.4．解连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，OE＝OB＝OD，所以∠ODE＝30°，在Rt△ODC中，∠DCO＝30°，由DC＝2得OD＝DCtan30°＝，所以BC＝.5．证明作两圆的公切线TQ，连接OP，O1M，则PN2＝PM·PT，所以＝.1由弦切角定理知，∠POT＝2∠PTQ，∠MO1T＝2∠PTQ，于是∠POT＝∠MO1T，所以OP∥O1M，所以＝＝，所以＝，所以＝＝为定值．6．解连接AD、DO、DB.由AE∶EB＝3∶1，得DO∶OE＝2∶1，又DE⊥AB，所以∠DOE＝60°.故△ODB为正三角形．于是∠DAC＝30°＝∠BDC.而∠ABD＝60°，故∠C＝30°＝∠BDC.所以DB＝BC＝.在△OBD中，DE＝DB＝.2
