训练10基本不等式及其应用(参考时间：80分钟)一、填空题1．(2012·泰州期末)已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝________.2．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．3．若不等式x2－2ax－b2＋4≤0恰有一个解，则ab的最大值为________．4．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________．5．一批救灾物资随26辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达400km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2km，则这批物资全部运送到灾区最少需________h.6．(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．8．已知实数x，s，t满足：8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．9．若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是________．10．(2012·苏北四市调研)已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2＋b2＋c2＝84，则实数b的取值范围是________．二、解答题11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数均为整数，若α，β∈(1,2)，且α，β是方程f(x)＝0两个不等的实数根，求最小正整数a的值．12．某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k＞0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年年利润最高？最高年利润为多少万元？13．已知函数f(x)＝(x＞0)，(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；(2)若x＞0时，不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．14．(2012·南通、泰州、扬州调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射(入射角与反射角相等)到边CD，DA和AB上的P2，P3，P4处．(1)若P4与P0重合，求tanθ的值；(2)若P4落在A，P0两点之间，且AP0＝2.设tanθ＝t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．参考答案训练10基本不等式及其应用1．解析由基本不等式得ab≤2＝＝2，t＞0，解得t＝2.答案22．解析要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，主要(x＋2y)min＞m2＋2m，而x＞0，y＞0，x＋2y＝(x＋2y)·1＝(x＋2y)·＝4＋＋≥8，所以(x＋2y)min＝8，m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2.答案(－4,2)13．解析因为不等式x2－2ax－b2＋4≤0恰有一个解，所以抛物线与x轴相切，即(2a)2－4(－b2＋4)＝0，化简得a2＋b2＝4，所以ab≤＝2，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，取等号，即ab的最大值为2.答案24．解析a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．答案45．解析时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t＝＝＋≥2＝10，当且仅当v＝80时等号成立．答案106．解析 ≤a恒成立，∴a≥max，而＝≤＝(x＞0)，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥.答案a≥7．解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案48．解析由x＞－s和8x＋9t＝s得9x＋9t＝x＋s＞0，所以＝＝(x＋s)＋＝9(x＋t)＋≥6.答案69．解析因为4x＋4y＝(2x)2＋(2y)2＝t2－2×2x×2y，所以t2－2×2x×2y＝2t，即2×2x×2y＝t2－2t，又0＜2×2x×2y≤22＝t2，所以0＜t2－2t≤t2，解不等式组得2＜t≤4.答案2＜t≤410．解析因为三边长a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，a2＋b2＋c2＝84⇒a2＋c2＝84－b2，所以2ac＝4b2－(84－b2)＝5b2－84，由基本不等式可得2ac≤a2＋c2，即5b2－84≤84－b2⇒b2≤28，又a，b，c为△ABC的三边长，所以b2＞(a－c)2＝84－b2－(5b2－84)＝168－6b2⇒b2＞24，所以24＜b2≤28，故实数b的取值范围是(2，2]．答案(2，2]11．解根据条件进行等价转化，再利用二次函数图象直观求解．因为α，β∈(1,2)，且α，β是方程f(x)＝0的两个不等的实数根，所以f(1)＞0，f(2)＞0，又二次函...
