必考问题25不等式选讲【真题体验】1．(2012·江苏，21D)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.解因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知，|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.2．(2011·江苏，21D)解不等式：x＋|2x－1|＜3.解原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．3．(2010·江苏，21D)设a、b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．证明法一a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．＝(－)2[()4＋()3()＋()2()2＋()()3＋()4]因为实数a、b≥0，(－)2≥0，[()4＋()3()＋()2()2＋()()3＋()4]≥0所以上式≥0.即有a3＋b3≥(a2＋b2)．法二由a、b是非负实数，作差得，a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a＜b时，＜，从而()5＜()5，得(－)[()5－()5]＞0；所以a3＋b3≥(a2＋b2)．【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B级要求．(2)不等式证明的基本方法；B级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B级要求．【应对策略】高考考查的重点是：证明不等式的基本方法、含绝对值的不等式和几个重要的不等式及其应用．在复习过程中，要重视基础，强化能力，重视数学思想方法和知识方法的综合训练，强化应用意识，总结规律与方法，提升能力.必备知识1．基本不等式与简单的柯西不等式(1)若a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等号成立．(2)若a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立．(3)若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当＝时等号成立．2．不等式证明的基本方法比较法，综合法与分析法，反证法与放缩法，数学归纳法都是证明不等式的基本方法，但其中最重要的方法是直接应用基本不等式．3．含绝对值的不等式1(1)含有绝对值的不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的解，可以用分类讨论法求解．(2)含绝对值的三角不等式：若a，b∈R，则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.必备方法1．绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.重点是含绝对值不等式的解法．2．不等式的性质，特别是基本不等式链：≤≤≤(a＞0，b＞0)在不等式的证明和求最值中经常用到．3．不等式证明的常用方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．命题角度一含绝对值不等式的解法[命题要点]解含绝对值不等式【例1】►对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－2b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．[审题视点][听课记录][审题视点]把不等式等价变形为：≥|x－1|＋|x－2|，转化为绝对值不等式问题，再分类讨论去绝对值符号．解原式等价于≥|x－1|＋|x－2|，设＝t，则原式变为|t＋1|＋|2t－1|≥|x－1|＋|x－2|对任意t恒成立．因为|t＋1|＋|2t－1|＝最小值为t＝时取到，其最小值为.所以有≥|x－1|＋|x－2|＝解得x∈.求解绝对值不等式的关键是能够去掉绝对值符号，可用零点区间讨论法，还可用图象法，即画出各区间段内的函数图象，从而利用图象求解．【突破训练1】(2012·南通模拟)已知关于x的不等式|x－a|＋1－x＞0的解集为R，求实数a的取值范围．解若x－1＜0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2＞(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]＞0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以或对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，解得a＜1.故a的取值范围是(－∞，1)．命题角度二证明不等式[命题要点]证明不等式．【例2】►(2012·无锡联考)设x，y，z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．[审题视点][听课记录][审题视点]由正数的条件和待证不等式的结构特征，联想基本不等式，证得x3＋y3＝(x2＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，再利用同向不等式相加的性质，即可实现证明．证明因为x，y，z为正数，所以x2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，又因为xy(x＋y)...
