必考问题23矩阵与变换【真题体验】1．(2012·江苏，21B)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.2．(2011·江苏，21B)已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而，解得所以α＝.3．(2010·江苏，21B)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解由题设得，MN＝＝，由＝，可知A1(0,0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算；(2)二阶矩阵的逆矩阵及其求法；(3)矩阵的特征值与特征向量的求法．本内容考查主要属B级要求【应对策略】《考试说明》对这些内容是B级要求，一般说来，题目的难度也不大，抓基础知识的理解和基本方法的运用仍然是复习的重点，在复习中特别需要注意的就是紧扣《考试说明》的要求，把握好“度”．值得指出的是，待定系数法在矩阵中有着广泛的应用，复习中要引起足够的重视.必备知识1．矩阵的乘法与逆矩阵(1)＝.(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为B＝A－1.2．矩阵对应的变换矩阵M＝对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足→＝＝.3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设λ是二阶矩阵M＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则有M＝λ.(2)f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝的特征多项式．(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解，它即为M的属于λ的一个特征向量．1必备方法1．熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则，注意不能将列向量写在二阶矩阵左边；使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习惯．2．已知曲线C的方程，求变换后的曲线C1的方程的过程分三步：(1)将目标曲线C1上的任意一点的坐标(x，y)用曲线C上对应点的坐标(x′，y′)表示；(2)用x，y反表示x′，y′；(3)将x′，y′带回曲线C的方程，得到x，y的等式，该等式即所求曲线C1的方程．3．记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤：理解特征值与特征向量理论＝λ⇔命题角度一二阶矩阵与平面变换[命题要点](1)二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法运算；(2)二阶矩阵与平面变换；(3)根据条件求二阶矩阵中待定的参数值．【例1】►若直线y＝kx在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点P(4,1)，求实数k的值．[审题视点][听课记录][审题视点]根据y＝kx在的变换下得到的直线过P(4，1)可求k.解设变换T：→，则＝＝，即代入直线y＝kx得，x′＝ky′，将点P(4,1)代入得，k＝4.解决这类问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．【突破训练1】(2012·南京、盐城模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1.求实数b的值．解从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝＝.在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即＝.故解得代入曲线C1方程得，y′2＋2＝1.即曲线C2方程为：2x2＋y2＝1.与已知的曲线C2的方程＋y2＝1比较得(2b)2＝4.所以b＝±1.命题角度二二阶矩阵的逆矩阵及其求法[命题要点](1)求已知矩阵的逆矩阵；(2)利用逆矩阵解二元一次方程组．【例2】►二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．求矩阵M的逆矩阵M－1.[审题视点][听课记录][审题视点]点(－1，－1)与(0，－2)在M－1的变换成(1，－1)与(－2,1)，由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，求矩阵．解设矩阵M的逆矩阵M－1＝.由题意得，＝，＝，2∴－a－b＝1，－c－d＝...
