必考问题21二项式定理及数学归纳法【真题体验】1．(2012·苏北四市调研)已知an＝(1＋)n(n∈N*)(1)若an＝a＋b(a，b∈Z)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意n∈N*都存在正整数k，使得an＝＋
证明(1)由二项式定理，得an＝C＋C＋C()2＋C()3＋…＋C()n，所以a＝C＋C()2＋C()4＋…＝1＋2C＋22C＋…，因为2C＋22C＋…为偶数，所以a是奇数．(2)由(1)设an＝(1＋)n＝a＋b(a，b∈Z)，则(1－)n＝a－b，所以a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)n(1－)n＝(1－2)n，当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b＝＋＝＋，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b＝＋＝＋，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an＝＋
2．(2010·江苏，23)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．(1)证明设三边长分别为a，b，c，cosA＝， a，b，c是有理数，b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数．(2)证明①当n＝1时，显然cosA是有理数；当n＝2时， cos2A＝2cos2A－1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即coskA、cos(k－1)A均是有理数．当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝coskAcosA－sinkAsinA＝coskAcosA－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]＝coskAcosA－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A解得：cos(k＋1)A＝2coskAcosA－cos(k－1)A cosA，coskA，cos(k－1)A均是有理数
