必考问题17数学思想在解题中的应用(一)【真题体验】1．(2012·江苏卷改编)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有________．解析在同一坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝|lgx|的图象如图，由图象可知，两个函数的图象的交点共有10个．答案102．(2012·江苏改编)设函数f(x)＝则方程f(x)＝x解的个数是________．解析作出函数f(x)的图象如图，由图象可知，函数f(x)与y＝x的图象的交点个数是3，即方程f(x)＝x的解的个数为3.答案33．(2012·苏中三市调研)若函数f(x)＝|2x－1|，则函数g(x)＝f(f(x))＋lnx在(0,1)上不同的零点个数为________．解析将函数g(x)＝f(f(x))＋lnx在(0,1)上不同的零点个数转化为函数y＝f[f(x)]图象在(0,1)上与y＝－lnx图象的交点个数，作出图象如图，可知两个函数图象在(0,1)上有3个交点，故不同的零点个数为3.答案34．(2012·苏中三市调研)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则数k的取值范围是________．解析作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当＜x＜1时，函数f(x)与y＝k的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．答案(0,1)15．(2012·南京、盐城模拟)若关于x的方程kx＋1＝lnx有解，则实数k的取值范围是________．解析利用分离参数将不等式有解问题转化为函数值域的求解，再利用导数研究函数性质，作出图象，借助图象求函数值域．由题意可知k＝(x＞0)，所以k的取值范围即为函数f(x)＝(x＞0)的值域．因为f′(x)＝(x＞0)，由f′(x)＝0解得x＝e2，且x∈(0，e2)时，f′(x)＞0，函数f(x)递增；x∈(e2，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)递减，且该函数只有一个零点e，所以函数图象的大致形状如图，故其值域为，即为k的取值范围．答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：函数与方程思想、数形结合思想都是高中数学的基本思想，也是高考的重点，是解题中重要的、常用的思想方法，使用函数与方程思想、数形结合的方法，很多棘手的问题能迎刃而解，且解法简捷．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、不等式等构成综合题，难度以中高档题居多．【应对策略】掌握函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．理解许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决．理解数形结合的本质，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．理解数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维的过程，有助于把握数学问题的本质，知道它是数学的规律性与灵活性的有机结合.必备知识1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．3．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，2如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．必备方法1．函数和方程思想(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0，函数问题(例如求函数的值域...
