解答题规范练(四)1．已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值．2．如图，已知三棱锥ABPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥DBCM的体积．3.某班同学利用寒假进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组“低碳族”的人数占本组的频率第1组[25,30)1200.6第2组[30,35)195p第3组[35,40)1000.5第4组[40,45)a0.4第5组[45,50)300.3第6组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人，参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中，恰有1人年龄在[40,45)岁的频率．4.已知函数f(x)＝，数列{an}满足2an＋1－2an＋an＋1an＝0，且an≠0.数列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn.5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线1OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．6.已知函数f(x)＝ex，直线l的方程为y＝kx＋b.(1)求过函数图象上的任一点P(t，f(t))的切线方程；(2)若直线l是曲线y＝f(x)的切线，求证：f(x)≥kx＋b对任意x∈R成立；(3)若f(x)≥kx＋b对任意x∈[0，＋∞)恒成立，求实数k，b应满足的条件．参考答案【解答题规范练(四)】1．解(1) m∥n，∴sinA·(sinA＋cosA)－＝0.∴＋sin2A－＝0，即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1. A∈(0，π)，∴2A－∈.故2A－＝，A＝.(2) BC＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4，又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，从而S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.即△ABC面积S的最大值为.2．解(1) M为AB中点，D为PB中点，∴MD∥AP，又 MD⊄平面APC，AP⊂平面APC.∴DM∥平面APC.(2) △PMB为正三角形，且D为PB中点，∴MD⊥PB，又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB，又 AP⊥PC，PB∩PC＝P.∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又 AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，又BC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面APC.(3)由(2)知，AP⊥平面PBC，MD∥AP，∴MD⊥平面PBC. AB＝20，∴MB＝10，∴PB＝10，又BC＝4，BC⊥PC，∴PC＝＝＝2，∴S△BDC＝S△PBC＝PC·BC＝×4×2＝2，又MD＝AP＝＝5.∴VDBCM＝VMBCD＝S△BCD·DM＝×2×5＝10.3．解(1)第2组频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06.直方图如下：2 ＝200,0.04×5＝0.2，∴n＝＝1000；p＝＝0.65；a＝1000×0.03×5×0.4＝60.(2)因为[40,50)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段“低碳族”的比值为2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中抽取4人，[45,50)岁中抽取2人．设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2个人为m，n，则选取2人作为领队有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种，其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种，∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为p＝.4．解(1)由2an＋1－2an＋an＋1an＝0得－＝，所以数列是等差数列．(2)而b1＝f(0)＝5，所以＝5，7a1－2＝5a1，所以a1＝1，＝1＋(n－1)，所以an＝.bn＝＝7－(n＋1)＝6－n.当n≤6时，Tn＝(5＋6－n)＝，当n≥7时，Tn＝15＋(1＋n－6)＝.所以，Tn＝5．解(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与l的距离d＝，可得＝，...
