【创新设计】高考数学 第九篇 第5讲 双曲线限时训练 新人教A版VIP专享VIP免费

第5讲双曲线A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()．A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由PF1的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(，4)，即＝4，b2＝4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－＝1.答案B2．(2012·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析不妨设a>0，b>0，c＝.据题意，2c＝10，∴c＝5.①双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝.②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为()．A．－2B．－C．1D．0解析设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2，选A.答案A4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()．A．3B．2C.D.解析设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.解析与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ>0)，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.1答案126．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．解析由题意得m＞0，∴a＝，b＝.∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.8．(13分)(2012·合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解 e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.又 双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)知a＝b＝，c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，MF1·MF2＝0.法二 MF1＝(－3－2，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2. M在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴MF1·MF2＝0.(3)解 在△F1MF2中，|F1F2|＝4，且|m|＝，∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝×4×＝6.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)2一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·北京西城模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OF＋OP＝2OE，则双曲线的离心率为()．A.B.C.D.解析设双曲线的右焦点为A，则OF＝－OA，故OF＋OP＝OP－OA＝AP＝2OE，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝＝，选C.答案C2．(2012·福建)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点...