现代控制理论课程设计直线一级倒立摆LQR控制器的设计摘要在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。关键词：二次型；倒立摆；稳定控制前言倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用MATLAB高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。一.线性二次最优控制LQR基本理论LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程：确定下列最佳控制向量的矩阵K：使得性能指标达到最小值：式中：Q为正定（或正半定）厄米特或实对称阵R为正定厄米特或实对称阵现代控制理论课程设计下面是最优控制LQR控制原理图：图1LQR控制原理图方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t)是无约束的。对线性系统：根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。二.建立模型及分析在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：图2直线一级倒立摆建模其中：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力现代控制理论课程设计x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设，为足够小的角度，即可近似处理得：，，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下：取状态变量：即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：这里设：现代控制理论课程设计将参数带入有：四个状态量，，，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。2.稳定性分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如下图所示：现代控制理论课程设计0200040006000800010000To:Out(1)050100150050100150To:Out(2)StepResponseTime(seconds)Amplitude图3小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定。2．倒立摆能控性能分析系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M，利用MATLAB可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控...
