第5讲-一维势场中能量本征态的一般性质VIP免费

第5讲目录一、再论正交、归一、完备态二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质三、有限深对称方势阱中的束缚态1第一页，共二十八页。一、再论正交、归一、完备态（1）态叠加原理：任意量子态可按任意一组正交、归一、完备态矢量来分解，即：nnncn态矢量，也称基矢量子态,nc展开系数mnnmrdrr3*)()(1,0,mnmnmn归一正交2第二页，共二十八页。一、再论正交、归一、完备态（2）以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例：.,0,0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn,,3,2,1n由,2)(sin02dxnx)(,0)sin()sin(0nmdxmxnx,)()(mnnmdxxx1,0,mnmnmn归一正交由傅里叶级数可知：在内，任意奇函数可展开为：),0(a11)(sin2)(nnnnnxcaxncax完备3第三页，共二十八页。一、再论正交、归一、完备态（3）数学上：为完备性。11)(sin2)(nnnnnxcaxncax物理上：是无限深方势阱中的波函数，为态叠加原理的体现。)(xn)(xn由能量本征方程确定，构成了体系的基矢量。如何确定？nc*()()(,)nnncxxdx(,)nnnc和的内积4第四页，共二十八页。一、再论正交、归一、完备态（4）dxxxcnnn)()(),(*证明：由1)()(mmmxcx1**)()()()(mmmnndxxcxdxxxnmmnmmmnmccdxxxc11*)()(mnmndxxx)()(*其中：5第五页，共二十八页。一、再论正交、归一、完备态（5）处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立波函数：构成一组正交、归一、完备的基矢。这是由的正交、归一性得到的。),()(2/22axHeAxnxann)(xHn可以证明：具有完备性，即可将任意函数用展开：即：mnmndxxx)()(*)(xn)(xn1)()(nnnxcx根据态叠加原理：就是粒子在谐振势下的态。)(x2)(2KxxV6第六页，共二十八页。一、再论正交、归一、完备态（6）结论：由能量本征方程解出的，通常被称为态矢量，也称基矢，它们是正交、归一、完备的。无论在无限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态都可以用这一组正交、归一、完备的基矢展开：)(xn)(x1)()(nnnxcx其中展开系数：dxxxcnnn)()(),(*粒子处于某一态矢的概率为：)(xn22),(nnc同时要注意：也是粒子具有态矢对应的能量的概率。)(xnnE7第七页，共二十八页。二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1)1、定态：薛定谔方程：),()],(2[),(22trtrVmtrti若不显含，则有),(trVt)/exp()(),(iEtrtrE若已知时体系处于某一个能量本征态，则在后，体系状态为通常称这样的态为定态。由定态描述的粒子状态，测量其能量时，得到确定值。0t)(rE0t)/exp()(),(iEtrtrE2、简并：如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。nEE)/exp()()/exp()(:11111tiErtiErEEEE8第八页，共二十八页。二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2).,0,0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn22222manEEn,,3,2,1n例一、一维无限深方势阱中粒子的能量本征值和本征态为：一个能量本征值对应一个本征态：非简并nE)(xn例二、一维谐振子的能量本征值和本征态为：,)2/1(nEEn),()(2/22axHeAxnxann,,3,2,1,0n一个能量本征值对应一个本征态：非简并nE)(xn9第九页，共二十八页。二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(3)3、宇称：函数在空间反演下表现出的特性。定义空间反演算符：Pˆ)()(ˆxxP若：则称具有确定的)()()(ˆ)()()(ˆxxxPxxxP)(x偶宇称奇宇称例：)cos()cos()cos(ˆxxxP偶宇称奇宇称)sin()sin()sin(ˆxxxP注意：一般的函...