第5讲目录一、再论正交、归一、完备态二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质三、有限深对称方势阱中的束缚态1第一页,共二十八页。一、再论正交、归一、完备态(1)态叠加原理:任意量子态可按任意一组正交、归一、完备态矢量来分解,即:nnncn态矢量,也称基矢量子态,nc展开系数mnnmrdrr3*)()(1,0,mnmnmn归一正交2第二页,共二十八页。一、再论正交、归一、完备态(2)以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例:.,0,0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn,,3,2,1n由,2)(sin02dxnx)(,0)sin()sin(0nmdxmxnx,)()(mnnmdxxx1,0,mnmnmn归一正交由傅里叶级数可知:在内,任意奇函数可展开为:),0(a11)(sin2)(nnnnnxcaxncax完备3第三页,共二十八页。一、再论正交、归一、完备态(3)数学上:为完备性。11)(sin2)(nnnnnxcaxncax物理上:是无限深方势阱中的波函数,为态叠加原理的体现。)(xn)(xn由能量本征方程确定,构成了体系的基矢量。如何确定?nc*()()(,)nnncxxdx(,)nnnc和的内积4第四页,共二十八页。一、再论正交、归一、完备态(4)dxxxcnnn)()(),(*证明:由1)()(mmmxcx1**)()()()(mmmnndxxcxdxxxnmmnmmmnmccdxxxc11*)()(mnmndxxx)()(*其中:5第五页,共二十八页。一、再论正交、归一、完备态(5)处于谐振子势中的粒子,由能量本征方程确定的分立波函数:构成一组正交、归一、完备的基矢。这是由的正交、归一性得到的。),()(2/22axHeAxnxann)(xHn可以证明:具有完备性,即可将任意函数用展开:即:mnmndxxx)()(*)(xn)(xn1)()(nnnxcx根据态叠加原理:就是粒子在谐振势下的态。)(x2)(2KxxV6第六页,共二十八页。一、再论正交、归一、完备态(6)结论:由能量本征方程解出的,通常被称为态矢量,也称基矢,它们是正交、归一、完备的。无论在无限深方势阱还是谐振子中,粒子的量子态都可以用这一组正交、归一、完备的基矢展开:)(xn)(x1)()(nnnxcx其中展开系数:dxxxcnnn)()(),(*粒子处于某一态矢的概率为:)(xn22),(nnc同时要注意:也是粒子具有态矢对应的能量的概率。)(xnnE7第七页,共二十八页。二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1)1、定态:薛定谔方程:),()],(2[),(22trtrVmtrti若不显含,则有),(trVt)/exp()(),(iEtrtrE若已知时体系处于某一个能量本征态,则在后,体系状态为通常称这样的态为定态。由定态描述的粒子状态,测量其能量时,得到确定值。0t)(rE0t)/exp()(),(iEtrtrE2、简并:如果系统的能级是分立的,即,若对同一个能级,有两个及其以上的本征函数与其对应,则称这个能级是简并的。nEE)/exp()()/exp()(:11111tiErtiErEEEE8第八页,共二十八页。二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2).,0,0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn22222manEEn,,3,2,1n例一、一维无限深方势阱中粒子的能量本征值和本征态为:一个能量本征值对应一个本征态:非简并nE)(xn例二、一维谐振子的能量本征值和本征态为:,)2/1(nEEn),()(2/22axHeAxnxann,,3,2,1,0n一个能量本征值对应一个本征态:非简并nE)(xn9第九页,共二十八页。二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(3)3、宇称:函数在空间反演下表现出的特性。定义空间反演算符:Pˆ)()(ˆxxP若:则称具有确定的)()()(ˆ)()()(ˆxxxPxxxP)(x偶宇称奇宇称例:)cos()cos()cos(ˆxxxP偶宇称奇宇称)sin()sin()sin(ˆxxxP注意:一般的函...