2015学年第二学期高二期中考试数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12345678BCBDADCB二、填空题（本大题共7小题，第9—12题每题6分，第13—15题每题4分，共36分。）9．，210．-6，11．，12．，13．y=3x+114．-215．三、解答题（本大题共5小题，第16题14分，第17—20题每题15分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分14分）解答：解：由题意得：（Ⅰ），解得：，∴P（﹣1，﹣1）．∵所求直线与直线l3：3x+2y﹣1=0平行，∴所求直线方程为：3x+2y+5=0．（Ⅱ）直线MN所在直线的斜率为3，∵所求直线与两点M（1，2），N（﹣1，﹣4）所在直线垂直，∴k=，则所求直线方程为：x+3y+4=0．17.（本小题满分15分）解：（1）。由于a>0，所以增区间为(0,a),减区间为（2）。由（1）知f(x)在[1，e]上单调递增，故只要1/3，解得a=e。18、（本小题满分15分）解：（3）19．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由于点，关于平面对称，则连线面，所以有BC⊥AO①延长PO交BC于E，连结AE，由⊥平面知：BC⊥PA②由①②知：BC⊥平面PAE且平面PAE，所以BC⊥PO得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：BC⊥AE，因为AB=AC=BC=1，所以E是BC的中点，故可求，在中，利用等面积法可求：则（Ⅲ）根据对称易求：，从而知为正四面体.取AB中点为G，连，易证：即为二面角的平面角在中，，由余弦定理知：2/3故二面角的余弦值为.20、（本小题满分15分）解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，因为e＝，所以＝据题意在椭圆上，则＋＝1，于是＋＝1，解得b＝1，因为a＝c，a2－c2＝b2＝1，则c＝1，a＝故椭圆的方程为＋y2＝1(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0所以x1＋x2＝－，x1x2＝于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·＋m2＝因为OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，即3m2－2k2－2＝0，所以m2＝设原点O到直线l的距离为d，则d＝＝＝＝当直线l的斜率不存在时，因为OP⊥OQ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP，OQ的方程分别为y＝x，y＝－x可得P，Q或者P，Q.此时，原点O到直线l的距离仍为综上分析，点O到直线l的距离为定值3/3
